corps de décomposition

[invite78bdfa83]

Il existe un théorème connu sur les corps de décomposition:

Pour tout corps K et tout polynome dans K[X] de degré superieur ou égal a 1, il existe un corps de décomposition L de P sur K, avec [L:K]< ou egal a n!
de plus ce corps est unique a un K isomorphise prés.

c'est ici qu'a lieu ma question: quand on prend un polynome et son corps de décomposition n'est il pas unique par définition ??? en effet si L=K(x1,..xn) où x1..xn sont les racines de K dans le surcorps et si L'=K(x'1..x'n) est un autre corps de décompostion de P, alors les xi et x'i sont égaux à une permution prés non ?? et donc les deux sur-corps sont egaux non ?
Existe il un polynome P sur un corps K qui possede deux corps de décomposition différents???
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[invite8b04eba7]

Bonsoir,

c'est ici qu'a lieu ma question: quand on prend un polynome et son corps de décomposition n'est il pas unique par définition ??? en effet si L=K(x1,..xn) où x1..xn sont les racines de K dans le surcorps et si L'=K(x'1..x'n) est un autre corps de décompostion de P, alors les xi et x'i sont égaux à une permution prés non ?? et donc les deux sur-corps sont egaux non ?
Existe il un polynome P sur un corps K qui possede deux corps de décomposition différents???

L'unicité est vrai à isomorphisme près : les x_i et les x'_i ne sont pas égaux car ils ne vivent pas dans le même corps. Le problème vient surement du fait que tu raisonnes en supposant que l'on s'est placé dans un corps suffisament gros M. Dans ce cas, il existe un unique corps de décomposition L inclus dasn M.

Il n'y a qu'à prendre l'exemple de C et R[T]/(T^2+1) qui sont tous les deux des corps de décomposition de P = T^2+1. Dans le premier, P admet les racines i et -i ; dans le second, les racines T et -T.