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Les classiques parmi les classiques




  1. #31
    homotopie

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Théorie des nombres] Irrationnalité de Pi
     Cliquez pour afficher

    -----


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  3. #32
    homotopie

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Théorème de Brouwer en dimension 2 :

    Toute application continue du disque dans lui-même admet un point fixe.

    preuve :
     Cliquez pour afficher

    Pour les dimensions supérieures la même preuve se généralise mais en changeant le découpage (celui utilisé ici ne se généralise pas).

  4. #33
    Médiat

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Une petite introduction à la théorie des modèles.

    Merci à martini_bird pour la PDFisation et la relecture.
    Fichiers attachés Fichiers attachés
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #34
    Médiat

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Théorème de Brouwer en dimension 2 :
    Quelques petites remarques (en gras)

    ceux pour lesquels {0,1} n'est pas inclus dans f(t) on a n0,1(t) = 0,
    ...
    Donc la parité de S est égale celle du nombre de petits triangles t tels que f(t)={0, 1, 2}.
    ...
    Ces derniers ne peuvent être que sur [A0A1] du fait que les sommets de ]A0A2] (resp.]A1A2]) ne peuvent avoir 1 (resp.0) pour image par f.

    D'autre part, je ne comprends pas le paragraphe :
    On recommence sur ce côté, on a parité du nombre de côtés numérotés {0,1} est égal à la parité du nombre de sommets sur le bord numéroté 0. Or A1 qui est sur [A1A2] et [A0A1] ne peut avoir pour image que 1, de même f(A0)=0. Ainsi ce dernier nombre est impair.
    Je suis d'accord que f(A0)=0 et f(A1)=1, mais je me plante sur le reste : si le côté [A0A1] est numéroté (0,0,1,1) il y a 1 côté numérotés {0,1} alors que le nombre de 0 est pair (et si on le numérote (0,1,1,1) il y a toujours 1 côté numérotés {0,1} alors que le nombre de 0 est impair) ; j'ai compris que l'on ne comptait que les petits triangles (triangles élémentaires) est-ce là mon erreur ?

    J'attends de comprendre cette partie avant d'aller plus loin.
    Dernière modification par Médiat ; 22/11/2007 à 07h27.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #35
    homotopie

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Quelques petites remarques (en gras)

    ceux pour lesquels {0,1} n'est pas inclus dans f(t) on a n0,1(t) = 0,
    ...
    Donc la parité de S est égale celle du nombre de petits triangles t tels que f(t)={0, 1, 2}.
    ...
    Ces derniers ne peuvent être que sur [A0A1] du fait que les sommets de ]A0A2] (resp.]A1A2]) ne peuvent avoir 1 (resp.0) pour image par f.

    D'autre part, je ne comprends pas le paragraphe :

    Je suis d'accord que f(A0)=0 et f(A1)=1, mais je me plante sur le reste : si le côté [A0A1] est numéroté (0,0,1,1) il y a 1 côté numérotés {0,1} alors que le nombre de 0 est pair (et si on le numérote (0,1,1,1) il y a toujours 1 côté numérotés {0,1} alors que le nombre de 0 est impair) ; j'ai compris que l'on ne comptait que les petits triangles (triangles élémentaires) est-ce là mon erreur ?

    J'attends de comprendre cette partie avant d'aller plus loin.
    Merci pour la relecture.
    Voici une nouvelle version de ce paragraphe intégrant tes remarquies et redéveloppant la partie posant problème (ton "erreur", induite par un manque d'explication de ma part, est essentiellement du au fait qu'à ce niveau le bord n'est plus celui du triangle initial mais celui de [A0A1]).
    Je laisse comme ça pour l'instant, quand les erreurs seront corrigées on demandera à un modérateur de "compiler" (autre manière de dire attendons la correction de la fin )

    c) lemme algébrique
    Soit f : S->{0, 1, 2} telle que les sommets situés sur [AiAj] sont envoyés sur i ou j alors il existe un petit triangle MNP tel que f({M, N, P})={0, 1, 2}.
    En effet : on considère la somme où n0,1(t) est le nombre de côtés de t dont les sommets ont pour image à eux deux {0,1}.
    Comptons par rapport aux petits triangles :
    ceux pour lesquels {0,1} n'est pas inclus dans f(t) on a n0,1(t)=0,
    ceux pour lesquels f(t)={0,1}, 2 étant exclu, on a soit deux sommets envoyés par f sur 0 et un sommet sur 1 ou deux envoyés sur 1 et un sur 0, dans les deux cas n0,1(t)=2
    ceux pour lesquels f(t)={0,1,2} on a n0,1(t)=1
    Donc la parité de S est égale celle du nombre de petits triangles t tels que f(t)={0,1}.
    Maintenant comptons par rapport aux côtés "numérotés" {0,1} :
    ceux qui sont à l'intérieur sont côté de deux petits triangles donc sont comptés deux fois
    ceux qui sont sur le bord sont côté d'un seul petit triangle et sont comptés exactement une fois
    Donc la parité de S est égale est égale au nombre de côtés sur le bord "numéroté {0,1}.
    Ces derniers ne peuvent être que sur [A0A1] du fait que les sommets de ]A0A2] (resp.]A1A2]) ne peuvent avoir 1 (resp.0) pour image par f.
    On recommence sur ce côté en dimension ingférieure, en considérant cette fois la somme sur les côtés (c), de petits triangles, contenu dans [A0A1] de n0(c)=nombre de sommets dont l'image par f est 0.
    On a parité du nombre de côtés numérotés {0,1} est égal à la parité du nombre de sommets sur le bord de [A0A1]={A0, A1} numéroté 0.
    Or A1 qui est sur [A1A2] et [A0A1] ne peut avoir pour image que 1, de même f(A0)=0. Ainsi ce dernier nombre est impair.
    En remontant on a le nombre de petits triangles t tels que f(t)={0,1,2} est impair et donc non nul.

    EDIT : je ferai peut-être une rédaction d'une preuve plus formelle (ça devrait te plaire) et généralisable en toute dimension (en évitant le recours à la preuve géométrique de la simplification 2 à 2 qui est très pénible).
    Dernière modification par homotopie ; 22/11/2007 à 13h29.

  7. #36
    Médiat

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    On a parité du nombre de côtés numérotés {0,1} est égal à la parité du nombre de sommets sur le bord de [A0A1]={A0, A1} numéroté 0.
    Merci de ce complément, c'est effectivement plus clair maintenant que j'ai compris qu'il s'agissait du bord de [A0A1] et non du bord [A0A1]
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #37
    homotopie

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Un Théorème de Froebenius : soit K un corps contenant R en son centre et dimension finie alors K est isomorphe à R, C ou H.
    En effet :

    a) soit x dans K\R alors R(x), le corps engendré par R et x, est isomorphe à C
     Cliquez pour afficher

    b) Soit K un corps commutatif contenant R en son centre et de dimension finie sur R alors K est isomorphe à R ou à C.
     Cliquez pour afficher


    c) K*={éléments y de K vérifiant y² réel<=0} forment un sous espace-vectoriel.
    Soient x et y deux éléments de K*. Si un des deux carrés est nul alors x ou y est nul et la somme est trivialement dans K*. On suppose désormais x²,y²<0.
    i) w=xy+yx est réel, en effet :
     Cliquez pour afficher

    ii) (x+y)²=x²+y²+w est réel, il reste à vérifier que (x+y)² n'est pas >0.
     Cliquez pour afficher

    d) Soient x et y deux éléments de K\R tels que 1, x et y soient linéairement indépendants alors R(x,y) est isomorphe à H
     Cliquez pour afficher

    e) soit K un corps contenant R en son centre et de dimension finie sur R alors K est isomorphe à R, C ou H
     Cliquez pour afficher


    Remarque : il existe des corps de dimension finie sur R non isomorphe à R, C ou H (R n'est plus central évidemment).

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  10. #38
    bubulle_01

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Salut tout le monde, et excusez moi de polluer ce topic très intéressant, mais il y a quelques détails qui m'échappe :
    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet

    1) montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers.
    2) montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
    3) montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.

     Cliquez pour afficher
    Pourrais-tu détailler les deux derniers points ?
    Je ne vois pas comment tu passes d'une étape à l'autre et comment viennent alors les différentes conclusions.

  11. #39
    MiMoiMolette

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Plop,



    2) Raisonnons par l'absurde et notons les a1,...,an. Posons A=4a1...an-1. Considérons les diviseurs premiers de A. Ils sont congrus soit à 1 soit à 3 modulo 4. Le deuxième cas est impossible. Sinon, ils diviseraient -1!
    ça, vi.
    S'ils sont congrus à 3 modulo 4, alors par hypothèse, ils appartiennent à l'ensemble {a1,...an} puisque ce sont tous les nombres premiers congrus à 3 modulo 4. Donc ak, congru à 3 mod 4, qui divise A, divise 4a1...an aussi. Donc il divise -1. => absurdité.
    Donc tout diviseur premier de A est congru à 1 modulo 4.

    Donc ils sont tous congrus à 1 [4]. Mais alors en faisant les produits, on aurait A congru à 1 [4]. Absurde!
    Donc A=b1...bp, avec tous les bk congrus à 1 mod 4 (décomposition en facteurs premiers).

    Donc A est congru à 1 mod 4.
    Or, A=4*(quelque chose) -1, donc congru à -1 mod 4.

    => absurdité.

    L'hypothèse de départ est donc fausse.

    (enfin je crois )
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  12. #40
    Ledescat

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Algèbre] 2 propriétés en dimension 2:

    Critère pour que A,B non homothéties soient semblables:

    Soient , A et B non homothéties.

    Alors A et B sont semblables ssi det(A)=det(B) et tr(A)=tr(B).

    preuve:
     Cliquez pour afficher



    Commutant d'une non homothétie:

    Soit , E de dimension 2 sur K, f non homothétie.

    Alors , ie le commutant de f est l'ensemble des polynômes en f.

    preuve:
     Cliquez pour afficher
    Cogito ergo sum.

  13. #41
    Romain-des-Bois

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Allez, à mon tour, avec un TRES grand classique, pas difficile...



    (vous ne me croyez pas ?)

     Cliquez pour afficher

  14. #42
    Antho07

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Allez, à mon tour, avec un TRES grand classique, pas difficile...



    (vous ne me croyez pas ?)

     Cliquez pour afficher

    Je propose une autre solution pour ce genre d'exercice ayant l'avantage de marcher pour d'autre racines.

     Cliquez pour afficher

  15. #43
    Carlos Hooker

    Re : [Algèbre linéaire] Gln(R) est un ouvert dense.

    Ton raisonnement est bien mené, mais tu devrais noter ta suite Ap, au risque de confondre l'indice (p, par exemple) de la suite et l'ordre des matrices que tu as noté n)

  16. #44
    Carlos Hooker

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    [Algèbre] 2 propriétés en dimension 2:

    Critère pour que A,B non homothéties soient semblables:

    Soient , A et B non homothéties.

    Alors A et B sont semblables ssi det(A)=det(B) et tr(A)=tr(B).

    preuve:
     Cliquez pour afficher



    Commutant d'une non homothétie:

    Soit , E de dimension 2 sur K, f non homothétie.

    Alors , ie le commutant de f est l'ensemble des polynômes en f.

    preuve:
     Cliquez pour afficher
    Pourrais tu m'expliquer pourquoi f^2(a)=-det(f)a + tr(f)f(a) ?

  17. #45
    blou92

    Unhappy Re : Les classiques parmi les classiques

    bonjour,
    J'aimerais avoir des nouvelles de Martini Bird, Homotopie
    et autres "éléphants" que je ne croise pas en ce moment.
    Merci.
    blou92

  18. #46
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Arithmétique] Nombres de Fermat

    Quelques questions classiques sur ces nombres si célèbres...

    1) Déterminer une condition nécessaire sur m pour que 2m+1 soit premier.

    On pose pour n entier naturel. C'est le n-ième nombre de Fermat.

    2) Vérifier que F0, F1, F2, F3 et F4 sont premiers. Montrer que F5 ne l'est pas. On pourra remarquer que 641 = 54+24 = 1+5x27.

    3) Montrer que si n m alors Fn et Fm sont premiers entre eux.


     Cliquez pour afficher

  19. #47
    legyptien

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Allez, à mon tour, avec un TRES grand classique, pas difficile...



    (vous ne me croyez pas ?)

     Cliquez pour afficher
    bonjour,

    Alors n'y aurait il pas une erreur dans le calcul de k^2. peut etre c est que Romain voullait ecrire ?

  20. #48
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Combinatoire] Décomposition d'un entier en somme d'entiers

    1) Soit t un entier naturel non nul et N un entier naturel. Montrer que le nombre de solutions à l'équation

    où les sont des entiers positifs, est .

    2) En utilisant la question précédente et un argument combinatoire, montrer que

    où n et p sont deux entiers naturels avec np.

    3) Retrouver la formule précédente par récurrence.

     Cliquez pour afficher

  21. #49
    murzomurzo

    Re : Les classiques parmi les classiques

     Cliquez pour afficher


    ce message répond à la question sur les matrices reelles semblables sur C il semble s'être égaré
    Dernière modification par murzomurzo ; 08/07/2014 à 09h45.

  22. #50
    opoliade

    Re : Les classiques parmi les classiques

    il suffit par exemple que f soit continue en un point quelconque, de même les autres conditions ne peuvent être que locales

    ----------------------------------------------------------------------

  23. #51
    sambmsp

    Re : Les classiques parmi les classiques

    comment demontrer que tout fonction periodique et non constante n' admet pas de limite en infini

  24. #52
    gg0

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Prendre sur une période deux valeurs qui ont des images différentes. En déduire deux suites f(xn) qui n'ont pas la même limite.

    Cordialement.

  25. #53
    ansset

    Re : Les classiques parmi les classiques

    par la contraposée.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #54
    red17

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Allez à mon tour

    [Analyse] l'existence de la constante d'Euler.

    Proposition :

    Soit un entier naturel non nul, alors :



     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par red17 ; 24/08/2015 à 07h59.
    Red17

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