Pourquoi utilse-t-on les repères orthonormés ?

[shokin]

Salut tout le monde,

Nous savons qu'existent également non orthonormés.

Mais pourquoi utilise-t-on ceux, orthonormés, où les axes sont perpendiculaires ?

Est-ce parce que deux vecteurs orthonormés, quelle que soit leur dimension, ont leur produit scalaire nul ?

Cela pour comprendre, entre autres, pourquoi l'on définit l'aire d'un rectangle par le produit de sa longueur par sa largeur (par le produit de longueurs de côtés perpendiculaires entre eux, comme le parallélipipède rectangle). Pourquoi ne pourrait-on pas utiliser le produit de deux longueurs de côtés non perpendiculaires entre eux (tel dans un parallélogramme non rectangle) ?

Peut-être revient-ce à définir l'aire (et le volume ... et dans n dimensions).

Shokin
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[invite4793db90]

Salut,

Mais pourquoi utilise-t-on ceux, orthonormés, où les axes sont perpendiculaires ?

Car le théorème de Pythagore permet de calculer de manière simple les distances.

Est-ce parce que deux vecteurs orthonormés, quelle que soit leur dimension, ont leur produit scalaire nul ?

Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul, quelque soient ces vecteurs.

Pourquoi ne pourrait-on pas utiliser le produit de deux longueurs de côtés non perpendiculaires entre eux (tel dans un parallélogramme non rectangle) ?

Car c'est faux. Il y a un facteur qui intervient pour mesurer la hauteur du parallélogramme : sinon tu aurais une aire non nulle pour un parallélogramme aplati, ce qui n'est pas terrible...

Peut-être revient-ce à définir l'aire (et le volume ... et dans n dimensions).

Pas besoin. Et le volume se définit simplement par un déterminant (forme volume).

Cordialement.

[shokin]

Car c'est faux. Il y a un facteur qui intervient pour mesurer la hauteur du parallélogramme : sinon tu aurais une aire non nulle pour un parallélogramme aplati, ce qui n'est pas terrible...

Pour le parallélogramme aplati, c'est clair, c'est plate.

Mais pourquoi l'angle droit et pas un autre angle, qui serait tout aussi constamment la référence ?

Je ne vais pas "contredire l'angle droit", mais j'aimerais le démontrer. Démontrer que l'aire d'un rectangle (quadrilatère à quatre angles droits) égale le produit des longueurs de deux de ses côtés perpendiculaires entre eux.

[Parce qu'un parallélogramme, je peux aussi le couper en n*m parallélogrammes.]

Ou si c'est une définition, pourquoi l'a-t-on choisie telle ?

Shokin

[invite4ef352d8]

la principale avantage des repère othornone, c'est dans un telle que dans un telle repère :


-les normes s'ecrivent facilemet : sqrt(x²+y²)
-les produit sclaire s'exprime facilement : x1*x2+y1*y2


mais rien n'interdit de choisir une autre Base !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite10a6d253]

Je ne vais pas "contredire l'angle droit", mais j'aimerais le démontrer. Démontrer que l'aire d'un rectangle (quadrilatère à quatre angles droits) égale le produit des longueurs de deux de ses côtés perpendiculaires entre eux.
Shokin

Comment définis-tu l'aire d'un rectangle ?
La réponse moderne est : via la mesure de Lebesgue, pour laquelle on pose aire du rectangle=longueur*largeur.
Une définition avec un autre angle reviendrait à tout multiplier par un facteur cos alpha : tu obtiendrais alors exactement les même résultats, à une constante multiplicative près.

[invitecbade190]

Bonjour :
Je voudrai savoir comment calculer la distance OM dans un repère non orthonormé ... Par exemple, l'axe des "y" fait un angle de 120° avec l'axe des "x" ... ! Comment calculer la distance dans ce repère ... ?
Merci infiniment ... !

[invitecbade190]

Biensûr la distance OM doit etre dans le nouveau repère non orthonormée, c'est à dire en fonction de leur coordonnées dans le nouveau repère ... !
Merci infiniment ... !

[Bleyblue]

salut,

J'aimerais ajouter qu'il n'est pas toujours possible d'utiliser un repère orthonormé.
Ainsi en mécanique parfois les repères utilisés ne le sont pas (ce qui nous oblige à établire des tas de formules pour le produit scalaire et le produit vectoriel en base quelconque, et c'est extrêmement PENIBLE !)

[invitecbade190]

Svp, juste por voir comment les calculs se font dans un tel repère, c'est pas les calculs qui comptent pour moi, mais juste pour voir comment on fait des calculs dans ce repère ... !
Merci en tous cas ... !

[Bleyblue]

Mon message était relatif à la question de shokin.

Cependant pour ta question je pense qu'il suffit d'utiliser les formules pythagores généralisée dans les triangles quelconques au lieu de la formule de pythagore non ? (ce qui revient simplement à prendre les angles en compte)

Je veux donc parler de ces formules la :
(http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...%A9ralis%C3%A9)