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Représentation linéaire des groupes finis



  1. #1
    invite43219988

    Représentation linéaire des groupes finis


    ------

    Bonjour,
    Je révise les représentations linéaires des groupes finis, je vais donc utiliser ce post pour poser quelques questions au fur et à mesure que j'avance dans ma leçon.

    Première chose, on me dit que le phénomène de diagonalisabilité est général.

    Si est une représentation et G fini de cardinal , on a :

    .
    D'où est polynôme annulateur de . On me dit alors qu'il est scindé à racines simples et que donc est diagonalisable. Pourquoi serait-il scindé ?

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    D'où est polynôme annulateur de . On me dit alors qu'il est scindé à racines simples et que donc est diagonalisable. Pourquoi serait-il scindé ?
    Parce que l'on travaille sur le corps des complexes...

  3. #3
    indian58

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Parce que l'on travaille sur le corps des complexes...
    Celà reste vrai même si on se restrait à un sous-corps de C.

  4. #4
    invite43219988

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Merci pour vos réponses mais j'ai encore un doute.
    Le polynôme en question est un polynôme annulateur de , c'est-à-dire d'un élément de qui n'est pas un -espace vectoriel. Même si en est un, que vient faire l'argument algébriquement clos ici ? Du moment qu'un polynôme est à coefficients dans , il est scindé peu importe l'ensemble dans lequel on trouve ses racines ?

    Je pensais plutôt à un argument du type :
    Soit un groupe de cardinal , puisque chaque élément de vérifie , on peut factoriser par dans .

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Ksilver

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Celà reste vrai même si on se restrait à un sous-corps de C.>>> euh non. x^n-1 est pas scindé sur R...


    Ganash : ce que tu écrit est horrible !!! tu es dans un GROUPE, et dans un groupe (x-gn) n'a aucun sens !



    Ca doit etre marqué au début de ton cours que V n'est pas un espace vectorielle sur un corps quelconque (sinon le résultat serait faux ! ), il doit etre supposé que C est un C espace vectorielle par exemple, ou que v est un K espace vectrielle avec K un corps algébriquement clos de caractéristique nul, ou de caractéristique ne divisant pas l'ordre du groupe...


    par exemple, si tu regarde la représentation de Z/4Z dans R^2 par des rotation (on envoi 1 sur la rotation d'angle Pi/2...), les images de 1 et de 3 ne sont pas diagonalisable !

  7. #6
    invite43219988

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Oui ok j'ai dit des sottises pour le groupe.
    Mais je ne comprends pas, mon polynôme est à coefficients dans et est un -espace vectoriel certes, mais quel lien avec le fait que soit scindé ? Enfin je veux dire, je veux que mon polynôme s'écrive :
    où les sont des éléments de et non des éléments de . Alors quel rapport avec le fait que soit algébriquement clos ?

  8. #7
    jobherzt

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Oui ok j'ai dit des sottises pour le groupe.
    Mais je ne comprends pas, mon polynôme est à coefficients dans et est un -espace vectoriel certes, mais quel lien avec le fait que soit scindé ? Enfin je veux dire, je veux que mon polynôme s'écrive :
    où les sont des éléments de et non des éléments de . Alors quel rapport avec le fait que soit algébriquement clos ?
    Re arg En fait ton polynome annulateur est bien un polynome a coefficient dans C. Seulement on definitit une maniere canonique de l'appliquer a une matrice... En gros, rigoureusement tes termes (X-u_i) sont des polynomes de degré 1, qui formellement s'ecrivent X^1-u_i*X^0. Si maintenant on remplace X par un complexe, alors X^0=1. Si on remplace X par une matrice, alors par definition X^0=I (la matrice identité de GL(V)). C'est la "valeur" qu'on attribue a X qui peut etre prise sur n'imorte quel ensemble avec suffisamment de structure pour que ca marche (dans ce cas, une C algebre, sauf erreur, et pour la matrice c'est donc Mn(C)).

    Il faut bien faire la difference entre un polynome qui est un objet purement algebrique, et les fonctions polynomiale qu'on peut lui associer. Formellement, sauf erreur (il est tard), C[X] est une algebre libre, donc des que tu choisis un element a d'une algebre A, tu peux construire un morphisme d'algebre f_a de C[X] dans A qui envoie X sur a. Et donc formellement si P est un polynome, alors ce qu'on note P(a) est simplement f_a(P), qui n'est autre (par linéarité et compatibilité avec la multiplication) que P dans lequel on remplace X par a. Et accessoirement puisque f_a doit etre un morphisme, on a bien f_a(1)=1_A, et par extension tout complexe m est envoyé sur m*1_A. Donc tes u_i sont des complexes, mais quand tu appliques ton polynome a une matrice M, tu envoies en fait sans le dire les u_i sur u_i*I et X sur M.

  9. #8
    invite43219988

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Merci beaucoup pour ces éclaircissements !

  10. #9
    jobherzt

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    De rien, j'espere ne pas etre trop sorti du sujet !

  11. #10
    Ksilver

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    "je veux que mon polynôme s'écrive :..."

    mais pourquoi veux tu une chose pareil ? une telle écriture est en effet toujour possible, (et absoluement pas unique), mais ce n'est pas du tous de quoi il est question ici.

    tu as p(g)^n-1.
    or le polynome x^n-1 est scindé sur le corps de base C.

    et tu as un thèorème de ton cours qui donne la triple équivalence
    "A est diagonalisable si et seulement si son polynome minimal est sindé à racine simple, si et seulement si A annule un polynome scindé à racine simple"

    donc comme p(g) annule x^n-1, p(g) est diagonalisable, et ces valeurs propres sont des racines n-ieme de l'unité.

  12. #11
    invite43219988

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Scindé à racines simples, ça veut bien dire qu'on a une telle écriture non ?

  13. #12
    Ksilver

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Non. quand on dit scindé à racine simple c'est dans le corps de base. (donc que ton polynome à n racine distinct dans C...)

  14. #13
    carfotte

    help

    salut! j'ai des partiels dans une semaine et j'aurais besoin d'un coup de main, en fait il me faudrait la table de caractère de S4 car il y a 99% de chance pour que ca tombe ... si quelqu'un l'a ou sait la faire tres rapidement! merki^^

  15. #14
    jobherzt

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Gap permet de calculer ca, mais je ne sais pax exactement ce que represente le resultat qu'il retourne. si ca te parle plus qu'à moi, voici la table des caracteres irreductibles :

    Code:
    gap> c:=CharacterTable(SymmetricGroup(4));
    CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) )
    gap> Display( Irr( c ) );
    [ [   1,  -1,   1,   1,  -1 ],
      [   3,  -1,  -1,   0,   1 ],
      [   2,   0,   2,  -1,   0 ],
      [   3,   1,  -1,   0,  -1 ],
      [   1,   1,   1,   1,   1 ] ]

  16. #15
    carfotte

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    super merci! maintenant j'ai plus qu'a pipoter des explications ...

  17. #16
    jobherzt

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Mouais, c'est quand meme bizzare que tu sois sensé connaitre ca par coeur..

  18. #17
    carfotte

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    ba en théorie suis pas sensée le connaitre par coeur.. mais disons que jpourrais valider mon année plus facilement!

  19. #18
    philou21

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Gap permet de calculer ca, mais je ne sais pax exactement ce que represente le resultat qu'il retourne. si ca te parle plus qu'à moi, voici la table des caracteres irreductibles :

    Code:
    gap> c:=CharacterTable(SymmetricGroup(4));
    CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) )
    gap> Display( Irr( c ) );
    [ [   1,  -1,   1,   1,  -1 ],
      [   3,  -1,  -1,   0,   1 ],
      [   2,   0,   2,  -1,   0 ],
      [   3,   1,  -1,   0,  -1 ],
      [   1,   1,   1,   1,   1 ] ]

    Bizarre ta table S4 ....

    On aurait plutôt :

    .....E.....S4.....S42.....S43
    A...1......1........1.........1
    B...1.....-1........1........-1
    E...1.......i.......-1........-i
    .....1......-i.......-1..........i

  20. #19
    mariposa

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Citation Envoyé par philou21 Voir le message
    Bizarre ta table S4 ....

    On aurait plutôt :

    .....E.....S4.....S42.....S43
    A...1......1........1.........1
    B...1.....-1........1........-1
    E...1.......i.......-1........-i
    .....1......-i.......-1..........i
    Bonjour,
    .
    Il s'agit bien de S4. Il suffit de compter le nombre de diagrammes de Young. Soient 5 donc 5 representations IR et donc 5 classes.

  21. #20
    philou21

    Re : Représentation linéaire des groupes finis

    Oups ! excusez-moi, je pensais que vous faisiez allusion au groupe ponctuel de symétrie S4 et non au groupe des permutations.

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