Représentation linéaire des groupes finis

invitebb921944 · 08/05/2008, 22h26

Bonjour,
Je révise les représentations linéaires des groupes finis, je vais donc utiliser ce post pour poser quelques questions au fur et à mesure que j'avance dans ma leçon.

Première chose, on me dit que le phénomène de diagonalisabilité est général.

Si $\text{[math]}$ est une représentation et G fini de cardinal $\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$ .
D'où $\text{[math]}$ est polynôme annulateur de $\text{[math]}$ . On me dit alors qu'il est scindé à racines simples et que donc $\text{[math]}$ est diagonalisable. Pourquoi serait-il scindé ?

**God's Breath** · 08/05/2008, 22h39

Envoyé par Ganash

D'où $\text{[math]}$ est polynôme annulateur de $\text{[math]}$ . On me dit alors qu'il est scindé à racines simples et que donc $\text{[math]}$ est diagonalisable. Pourquoi serait-il scindé ?

Parce que l'on travaille sur le corps des complexes...

**indian58** · 11/05/2008, 06h33

Envoyé par God's Breath

Parce que l'on travaille sur le corps des complexes...

Celà reste vrai même si on se restrait à un sous-corps de C.

invitebb921944 · 11/05/2008, 11h53

Merci pour vos réponses mais j'ai encore un doute.
Le polynôme en question est un polynôme annulateur de $\text{[math]}$ , c'est-à-dire d'un élément de $\text{[math]}$ qui n'est pas un $\text{[math]}$ -espace vectoriel. Même si $\text{[math]}$ en est un, que vient faire l'argument $\text{[math]}$ algébriquement clos ici ? Du moment qu'un polynôme est à coefficients dans $\text{[math]}$ , il est scindé peu importe l'ensemble dans lequel on trouve ses racines ?

Je pensais plutôt à un argument du type :
Soit $\text{[math]}$ un groupe de cardinal $\text{[math]}$ , puisque chaque élément de $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$ , on peut factoriser $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

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invite4ef352d8 · 11/05/2008, 12h17

Celà reste vrai même si on se restrait à un sous-corps de C.>>> euh non. x^n-1 est pas scindé sur R...

Ganash : ce que tu écrit est horrible !!! tu es dans un GROUPE, et dans un groupe (x-gn) n'a aucun sens !

Ca doit etre marqué au début de ton cours que V n'est pas un espace vectorielle sur un corps quelconque (sinon le résultat serait faux ! ), il doit etre supposé que C est un C espace vectorielle par exemple, ou que v est un K espace vectrielle avec K un corps algébriquement clos de caractéristique nul, ou de caractéristique ne divisant pas l'ordre du groupe...

par exemple, si tu regarde la représentation de Z/4Z dans R^2 par des rotation (on envoi 1 sur la rotation d'angle Pi/2...), les images de 1 et de 3 ne sont pas diagonalisable !

invitebb921944 · 12/05/2008, 16h45

Oui ok j'ai dit des sottises pour le groupe.
Mais je ne comprends pas, mon polynôme est à coefficients dans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ -espace vectoriel certes, mais quel lien avec le fait que $\text{[math]}$ soit scindé ? Enfin je veux dire, je veux que mon polynôme s'écrive :
$\text{[math]}$ où les $\text{[math]}$ sont des éléments de $\text{[math]}$ et non des éléments de $\text{[math]}$ . Alors quel rapport avec le fait que $\text{[math]}$ soit algébriquement clos ?

invitebe0cd90e · 13/05/2008, 22h16

Envoyé par Ganash

Oui ok j'ai dit des sottises pour le groupe.
Mais je ne comprends pas, mon polynôme est à coefficients dans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ -espace vectoriel certes, mais quel lien avec le fait que $\text{[math]}$ soit scindé ? Enfin je veux dire, je veux que mon polynôme s'écrive :
$\text{[math]}$ où les $\text{[math]}$ sont des éléments de $\text{[math]}$ et non des éléments de $\text{[math]}$ . Alors quel rapport avec le fait que $\text{[math]}$ soit algébriquement clos ?

Re arg

En fait ton polynome annulateur est bien un polynome a coefficient dans C. Seulement on definitit une maniere canonique de l'appliquer a une matrice... En gros, rigoureusement tes termes (X-u_i) sont des polynomes de degré 1, qui formellement s'ecrivent X^1-u_i*X^0. Si maintenant on remplace X par un complexe, alors X^0=1. Si on remplace X par une matrice, alors par definition X^0=I (la matrice identité de GL(V)). C'est la "valeur" qu'on attribue a X qui peut etre prise sur n'imorte quel ensemble avec suffisamment de structure pour que ca marche (dans ce cas, une C algebre, sauf erreur, et pour la matrice c'est donc Mn(C)).

Il faut bien faire la difference entre un polynome qui est un objet purement algebrique, et les fonctions polynomiale qu'on peut lui associer. Formellement, sauf erreur (il est tard), C[X] est une algebre libre, donc des que tu choisis un element a d'une algebre A, tu peux construire un morphisme d'algebre f_a de C[X] dans A qui envoie X sur a. Et donc formellement si P est un polynome, alors ce qu'on note P(a) est simplement f_a(P), qui n'est autre (par linéarité et compatibilité avec la multiplication) que P dans lequel on remplace X par a. Et accessoirement puisque f_a doit etre un morphisme, on a bien f_a(1)=1_A, et par extension tout complexe m est envoyé sur m*1_A. Donc tes u_i sont des complexes, mais quand tu appliques ton polynome a une matrice M, tu envoies en fait sans le dire les u_i sur u_i*I et X sur M.

invitebb921944 · 14/05/2008, 17h15

Merci beaucoup pour ces éclaircissements !

invitebe0cd90e · 14/05/2008, 17h27

De rien, j'espere ne pas etre trop sorti du sujet !

invite4ef352d8 · 14/05/2008, 18h58

"je veux que mon polynôme s'écrive :..."

mais pourquoi veux tu une chose pareil ? une telle écriture est en effet toujour possible, (et absoluement pas unique), mais ce n'est pas du tous de quoi il est question ici.

tu as p(g)^n-1.
or le polynome x^n-1 est scindé sur le corps de base C.

et tu as un thèorème de ton cours qui donne la triple équivalence
"A est diagonalisable si et seulement si son polynome minimal est sindé à racine simple, si et seulement si A annule un polynome scindé à racine simple"

donc comme p(g) annule x^n-1, p(g) est diagonalisable, et ces valeurs propres sont des racines n-ieme de l'unité.

invitebb921944 · 14/05/2008, 21h42

Scindé à racines simples, ça veut bien dire qu'on a une telle écriture non ?

invite4ef352d8 · 15/05/2008, 17h47

Non. quand on dit scindé à racine simple c'est dans le corps de base. (donc que ton polynome à n racine distinct dans C...)

invite3bbe2727 · 02/07/2008, 10h44

salut! j'ai des partiels dans une semaine et j'aurais besoin d'un coup de main, en fait il me faudrait la table de caractère de S₄ car il y a 99% de chance pour que ca tombe ... si quelqu'un l'a ou sait la faire tres rapidement! merki^^

invitebe0cd90e · 02/07/2008, 13h58

Gap permet de calculer ca, mais je ne sais pax exactement ce que represente le resultat qu'il retourne. si ca te parle plus qu'à moi, voici la table des caracteres irreductibles :

Code:

gap> c:=CharacterTable(SymmetricGroup(4));
CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) )
gap> Display( Irr( c ) );
[ [   1,  -1,   1,   1,  -1 ],
  [   3,  -1,  -1,   0,   1 ],
  [   2,   0,   2,  -1,   0 ],
  [   3,   1,  -1,   0,  -1 ],
  [   1,   1,   1,   1,   1 ] ]

invite3bbe2727 · 02/07/2008, 14h43

super merci! maintenant j'ai plus qu'a pipoter des explications ...

invitebe0cd90e · 02/07/2008, 14h52

Mouais, c'est quand meme bizzare que tu sois sensé connaitre ca par coeur..

invite3bbe2727 · 02/07/2008, 15h45

ba en théorie suis pas sensée le connaitre par coeur.. mais disons que jpourrais valider mon année plus facilement!

**philou21** · 04/07/2008, 09h54

Envoyé par jobherzt

Gap permet de calculer ca, mais je ne sais pax exactement ce que represente le resultat qu'il retourne. si ca te parle plus qu'à moi, voici la table des caracteres irreductibles :

Code:

gap> c:=CharacterTable(SymmetricGroup(4));
CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) )
gap> Display( Irr( c ) );
[ [   1,  -1,   1,   1,  -1 ],
  [   3,  -1,  -1,   0,   1 ],
  [   2,   0,   2,  -1,   0 ],
  [   3,   1,  -1,   0,  -1 ],
  [   1,   1,   1,   1,   1 ] ]

Bizarre ta table S4 ....

On aurait plutôt :

.....E.....S4.....S4².....S4³
A...1......1........1.........1
B...1.....-1........1........-1
E...1.......i.......-1........-i
.....1......-i.......-1..........i

**mariposa** · 04/07/2008, 14h15

Envoyé par philou21

Bizarre ta table S4 ....

On aurait plutôt :

.....E.....S4.....S4².....S4³
A...1......1........1.........1
B...1.....-1........1........-1
E...1.......i.......-1........-i
.....1......-i.......-1..........i

Bonjour,
.
Il s'agit bien de S4. Il suffit de compter le nombre de diagrammes de Young. Soient 5 donc 5 representations IR et donc 5 classes.

**philou21** · 04/07/2008, 14h30

Oups ! excusez-moi, je pensais que vous faisiez allusion au groupe ponctuel de symétrie S₄ et non au groupe des permutations.

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