J'ai quelques petites questions à propos des groupes (notamment finis)...
On a un groupe fini(soit
éléments) tel que tous les éléments non nuls sont d'ordre 2 (ie
pour tout i). L'objectif est de montrer que
est équipotent à
pour un certain
.
On montre facilement queest abélien. (La loi de
est maintenant notée +)
En effet siest différent de
(tous deux différents du neutre), on a :
On munitd'une structure d'espace vectoriel sur
:
Il me semble qu'il suffit de définir la loi externepar :
Le seul point «*problématique*» pourrait être![]()
Mais, on a :dans
donc
etcar
d'ordre 2, d'où l'égalité.
On a maintenant un espace vectoriel sur, on peut donc avoir une base sur ce corps.
Écrivons
On ajoute
alors
mais on a aussi
doncdonc c'est l'élément neutre et donc
dans
.
On en déduit ainsi que tous lessont nuls et donc la dimension de
sur
est n et donc
est équipotent à
.
(EDIT : j'ai omis une partie du raisonnement : on a une famille libre, maximale, donc c'est une base)
Qu'en dîtes-vous ?
Autre question :
Quand on demande de donner tous les groupes finis d'ordre n pour n=2,3,5,7... y a-t-il du «*travail*» ou pas ? (ie beaucoup de cas à considérer...) (c'est parce que c'est la première question d'un exercice, et elle semble faite pour être faite rapidement...)
Autre question bien moins importante... Je m'intéresse au groupe des tresses, si quelqu'un connait un bon document disponible sur le net, qu'il n'hésite pas...
Merci beaucoup !
Romain
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