J'aimerais qu'on m'ote un doute: le produit de 2 VA gaussiennes est-elle une VA gaussienne?
Si oui, on peut alors la determiner par (je vais prendre Z=X*Y, avec X et Y qui sont respectivement N(mx,sx^2) et N(my,sy^2)):
E[Z]=E[X]*E[Y]=mx*my,
et V[Z]=E[X^2]*E[Y^2]-E[X]^2*E[Y]^2=sx^2 sy^2 + mx^2 sy^2 + my^2 sx^2,
Qqu'un peut-il confirmer?
Salut.
Premièrement tes égalités sur les espérances que tu "coupes" comme E[Z] = E[X]E[Y] ne sont vraies que si tes variables sont indépendantes.
Deuxièmement je ne pense pas que le produit de deux gaussiennes soit encore gaussienne, essaye de regarder la fonction caractéristique pour t'en convaincre.
Oui Guyem, effectivement j'ai oublié de preciser qu'elles etaient independantes. Ensuite apres verification "brutale" (tirages), la nouvelle VA n'est effectivement pas Gaussienne (ce qui concorde plus avec le fait qu'un produit multiple de VA de meme loi doit plutot tendre vers une Log Normal, cf loi des grds nombres).
Par contre les esperances et variances calculées restent correctes. Mais je n'arrive pas a mettre la main sur la nouvelle loi pour arriver a ce que je cherche dans un autre post (avec des produit/div+sommes, etc... ca devient chaud).
Je n'ai pas trop regardé les fonctions caracteristiques (je ne suis pas expert dans leur usage en fait... ni meme leur utilitéqui pourtant m'aiderait bcp en ce moment)
Merci encore
Je ne crois pas que tu puisses mettre un nom sur la loi du produit de deux gaussiennes indépendantes
Ce que tu diraient rapidement les fonctions caractéristiques, c'est que la somme de deux telles gaussiennes est encore gaussienne, et que les espérances/variances s'ajoutent.
Merci ambrosio.
Comme quoi il ne faut jamais s'avancer à dire des trucs du genre "il n'y a pas de nom à cette distribution" ; et pour cause, il y a toujours un matheux pour lui avoir donné son nom avant toi, Bessel en l'occurence !
Merci ambrosio, je suis pas futé, les fonctions de Bessel connaissais, mais ne les voyais pas ici! Mais maintenant ca n'etait qu'une toute premiere etape... puisque je cherche la dsp d'une somme de hv (avec h et v 2 gaussiennes, comme ci-dessus) divisé par une fonction chi2 (cf 1 post precedent).
Dès que la diversité est suffisante (ie la taille de la somme) ca tend effectivement vers une gaussienne (d'ailleurs assez logique avec la loi des grd nombre + le fait que chi tend vers constante) mais ca n'en est pas exactement une. La variance se calcule aisément, mais je n'arrive pas a trouver la distrib complete, pour apres faire des calculs d'integrales dessus (queue de distrib pour calcul d'erreurs)... Bref c'est pas gagné... Merci encore pour cette premiere etape!
Fab
