Méthode de raisonnement à adopter sur cet exercice de dénombrement

[invite4c74fcf7]

Bonsoir !

Voici l'énoncé d'un exercice dont je ne comprends pas tous les détails, j'aimerai juste que vous m'indiquiez la méthode de raisonnement qu'il faut adopter pour résoudre cet exercice, et au passage si vous avez des astuces à vous pour résoudre rapidement des exercices ayant attrait aux combinaisons, aux arrangements et aux permutations.


Enoncé :

"Au comptoir d'un bar il y a 7 places alignées. 3 personnes s'y assoient au hasard. Quelle est la probabilité p pour qu'aucunes d'entre elles ne soient côte à côte ?"

Ma tentative de résolution :

Soit E l'ensemble des 7 places alignées.
Si 3 personnes s'y assoient au hasard, alors peut déterminer le nombre de dispositions différentes de ses 3 personnes parmis les 7 places alignées en calculant une combinaison C de 3 personnes parmis 7 places.
Ce qui donne : 35 dispositions différentes = cas possibles.

Mais ceci ne répond pas encore à la question
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[invite636fa06b]

Bonjour,

Tu peux toujours énumérer toutes les possibilités (il y en a une dizaine) ou essayer de trouver une formule générale.
Le résultat est assez simple. Tu peux l'obtenir par récurrence : soit le nombre de façons de placer k personnes parmis n place sans voisinage.
On a
Tu peux aussi remarquer que chaque personne occupe deux places sauf aux extrémités. Si l'on rajoute une place fictive à la fin, il y a exactement k places inaccessibles. Et il s'agit de placer finalement k personnes avec seulement n+1-k positions possibles....