Exercice de dénombrement

[g_h]

Hello !

J'essayais de faire cet exercice, et j'ai bien peur de me compliquer la vie avec ! De plus, j'ai quelques doutes sur la réponse finale...

Voici l'énoncé :

On note P(A) l'ensemble des parties de l'ensemble A.
Soit E un ensemble fini de n éléments.
Soit F une partie de E de cardinal k
Question : trouver le nombre de couples (X,Y) de P(E)xP(E) vérifiiant


Pour que , il faut que X et Y contiennent tous les 2 l'ensemble F.
Donc mon dénombrement ne concerne que les n-k éléments restants de E.

Je trouve :

(2 fois le binôme de Newton)

Puis on me dit d'en "déduire" cette horreur :

Et là, je sèche... je ne vois pas du tout comment me servir du résultat précédent !

Mais j'y vais tout de même "à la bourrin" :
(je reconnais que le risque d'erreur devient très élevé avec des trucs pareils mais bon, j'ai refait le calcul plusieurs fois) :


Ensuite je calcule (1+x)^p avec le binôme de newton, en dérivant et en posant x = 1, on trouve que :

On en déduit que :
(de la même façon qu'au dessus)

Ce qui vaut finalement , ce qui a l'air de coller avec de petits ensembles.

Le hic, c'est que la réponse donnée est , mais j'ai bien l'impression que c'est le livre qui se trompe pour une fois... (pitié dites-moi que c'est ça ) !

Donc mes questions sont, au final :

- comment réutiliser le premier résultat pour trouver le deuxième ?
- la réponse finale est-elle ou ?


Merci de votre patience, si vous avez déjà eu le courage de lire jusqu'ici !

Et sur ce, bonne nuit !
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[martini_bird]

Salut,

bonne nouvelle, je trouve comme toi en utilisant la première question. (je n'ai pas eu le courage de vérifier ton calcul )

L'idée est que la somme sur les couples (X, Y) peut se ramener à une somme sur une variable unique F. Appelons l'ensemble dont on a calculé le cardinal (fonction de celui de F). Alors:



La dernière égalité se déduit bien sûr de la dérivation de (1+x)ⁿ.

Cordialement.

[martini_bird]

Par ailleurs la formule donnée par ton bouquin est clairement fausse pour n=1.

Bonne nuit.

[g_h]

L'idée est que la somme sur les couples (X, Y) peut se ramener à une somme sur une variable unique F. Appelons l'ensemble dont on a calculé le cardinal (fonction de celui de F). Alors:



La dernière égalité se déduit bien sûr de la dérivation de (1+x)ⁿ.

... et tout devient clair ! C'est en effet plus simple que mon gros paté de sommes...
(mais "pourquoi n'y ai-je pas pensé avant ??" )

Par ailleurs la formule donnée par ton bouquin est clairement fausse pour n=1.

Oui, il me semblait bien (mais je sais aussi que j'ai une grande capacité à comprendre les énoncés de travers ... )


Merci encore !

[A voir en vidéo sur Futura]