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Exercice de dénombrement



  1. #1
    g_h

    Exercice de dénombrement


    ------

    Hello !

    J'essayais de faire cet exercice, et j'ai bien peur de me compliquer la vie avec ! De plus, j'ai quelques doutes sur la réponse finale...

    Voici l'énoncé :

    On note P(A) l'ensemble des parties de l'ensemble A.
    Soit E un ensemble fini de n éléments.
    Soit F une partie de E de cardinal k
    Question : trouver le nombre de couples (X,Y) de P(E)xP(E) vérifiiant


    Pour que , il faut que X et Y contiennent tous les 2 l'ensemble F.
    Donc mon dénombrement ne concerne que les n-k éléments restants de E.

    Je trouve :

    (2 fois le binôme de Newton)

    Puis on me dit d'en "déduire" cette horreur :

    Et là, je sèche... je ne vois pas du tout comment me servir du résultat précédent !

    Mais j'y vais tout de même "à la bourrin" :
    (je reconnais que le risque d'erreur devient très élevé avec des trucs pareils mais bon, j'ai refait le calcul plusieurs fois) :


    Ensuite je calcule (1+x)p avec le binôme de newton, en dérivant et en posant x = 1, on trouve que :

    On en déduit que :
    (de la même façon qu'au dessus)

    Ce qui vaut finalement , ce qui a l'air de coller avec de petits ensembles.

    Le hic, c'est que la réponse donnée est , mais j'ai bien l'impression que c'est le livre qui se trompe pour une fois... (pitié dites-moi que c'est ça ) !

    Donc mes questions sont, au final :

    - comment réutiliser le premier résultat pour trouver le deuxième ?
    - la réponse finale est-elle ou ?


    Merci de votre patience, si vous avez déjà eu le courage de lire jusqu'ici !

    Et sur ce, bonne nuit !

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Exercice de dénombrement

    Salut,

    bonne nouvelle, je trouve comme toi en utilisant la première question. (je n'ai pas eu le courage de vérifier ton calcul )

    L'idée est que la somme sur les couples (X, Y) peut se ramener à une somme sur une variable unique F. Appelons l'ensemble dont on a calculé le cardinal (fonction de celui de F). Alors:



    La dernière égalité se déduit bien sûr de la dérivation de (1+x)n.

    Cordialement.

  4. #3
    martini_bird

    Re : Exercice de dénombrement

    Par ailleurs la formule donnée par ton bouquin est clairement fausse pour n=1.

    Bonne nuit.

  5. #4
    g_h

    Re : Exercice de dénombrement

    Citation Envoyé par martini_bird
    L'idée est que la somme sur les couples (X, Y) peut se ramener à une somme sur une variable unique F. Appelons l'ensemble dont on a calculé le cardinal (fonction de celui de F). Alors:



    La dernière égalité se déduit bien sûr de la dérivation de (1+x)n.
    ... et tout devient clair ! C'est en effet plus simple que mon gros paté de sommes...
    (mais "pourquoi n'y ai-je pas pensé avant ??" )

    Citation Envoyé par martini_bird
    Par ailleurs la formule donnée par ton bouquin est clairement fausse pour n=1.
    Oui, il me semblait bien (mais je sais aussi que j'ai une grande capacité à comprendre les énoncés de travers ... )


    Merci encore !

  6. A voir en vidéo sur Futura

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