Bonjour à tous, j'ai vu dans mon cours qu'un endomorphisme de (E,N) (espace vectoriel normé de dimension quelconque) est continu si et seulement si il est lipschitzien...Mais je n'arrive pas à le demontrer...Pourriez vous m'aider...
D'avance MERCI.
Salut, tout vient de la linéarité :
-Si il est lipschitz, alors il est continu en 0 (en appliquant lipschitz avec x=x, y=0), donc continu partout
-Si il est continue, appelons M sa norme, alors pour tout x et y tu as :
| f(x) - f(y) | = | f(x-y) | < M |x-y|, l'inégalité provenant de la continuité en 0. Cela montre qu'il est lipschitzien.
Pour la premiére partie de votre raisonnement je n'ai aucun probléme c'est compris ...mais pour la seconde partie je ne vois pas trop comment vous arrivez à l'inégalité, et est ce que M=| f(x) | ...
Merci de votre aide.
Re salut (il ne faut pas dire vous, ça fait croire à la personne en face qu'elle est vieille ...)
La définition de la continuité de f c'est : il existe M tel que pour tout z, |f(z)| <= M|z|.
Supposons donc que f est continue et prenons un M qui marche. Prenons x et y dans E. On a donc | f(x-y) | <= M |x-y| en prenant z =x-y dans la définition de la continuité.
Mais f(x-y) = f(x) - f(y) par linéarité-qui-fait-le-café. Donc on a :
| f(x) - f(y) | <= M |x-y|, ce qui est bien le caractère lipschitz de f.
Dans ce cas c'est ta...Envoyé par GuYem
... definition de la continuité que je ne comprend pas...Comment passes tu de la definition classique qui est :
à ta definition...???
Encore merci de ton aide.
La définition de continuité que tu as écrite est valable pour toute fonction d'un espace métrique. Ici tu travailles avec endomorphismes. Ce sont des fonctions, certes mais elle sont super particulières ! Tu dois avoir dans ton cours montré un truc du genre :
Soit f un endomorphisme de E evn, on a équivalence entre :
* f est continue
* f est continue en 0
* f est bornée sur la boule unité
Ces trois trucs sont encore équivalents à ce que j'ai énoncé plus haut.
Si tu veux un conseil, quand tu travailles avec des endomorphismes, oublie la définition générale de la continuité et travaille avec celle que j'ai donné : il existe M tel que pour tout x, |f(x)| <= M |x|
Et bien merci beaucoup du conseil, en fait dans mon cours j'ai bien ces propriétés mais je n'ai aucune demonstration ... et je n'arrive pas trop à les démontrer seul ... j'ai donc cherché sur le net ma pas moyen non plus d'en trouver une .........
Si tu as un endroit où je peut trouver c'est demonstrations ... je t'écoute ....
Cette propriété est fondamentale pour les endomorphismes. On la trouve démontré dans tous les bouquins d'algèbre linéaire.
Il y a une difficulté non négligeable pour passer de la définition usuelle de la continuité à celle donnée par guyem, qui repose sur une notion abstraite appelée la compacité.
Pour faire simple, tu as dû voir dans ton cours d'analyse un théorème qui dit que si f est une fonction définie sur un intervalle fermé borné [a,b] à valeurs dans R qui est continue, alors f est bornée et atteint ses bornes. Ce théorème se généralise aux espaces vectoriels de dimension finie : toute fonction continue sur un ensemble fermé borné est bornée et atteint ses bornes.
A l'aide de ce résultat, montre que si ton application est continue alors il existe une constante M telle que
|f(x)|<=M pour tout x appartenant à la boule unité fermée (centrée à l'origine).
Déduis-en que pour x quelconque, on a
|f(x)|<=M ||x||
pour la suite, tu sais déjà faire...
Tu voudrais dire que la définition que j'ai donnée ne marche qu'en dimension finie, ie quand la boule unité est compacte
Non, tu as raison. On peut éviter. Il suffit de remarquer que si f est continue en zéro alors il existe eta>0 tq
|f(x)|<=1 pour |x|<eta.
Après, on fait un scaling comme avant.
Ouf tu m'as fait peur !
