Développement en série entière de fonctions usuelles

[invite63840053]

Bonjour,
j'essaye de retrouver les développement en série entière des fonctions usuelles tel que cos, sin, ch, sh en partant de celui de l'exponentielle (somme sur n de 1 à l'infini de x^n/n!), mais je bloque sur ch et sh.
Par définition, ch = [e^x + e^(-x)]/2
Je ne sais pas si j'ai le droit de dire que e^(-x) = 1/e^x = somme sur n de 1 à l'infini de n!/x^n
Cela semble faux à première vue car la somme diverge.
J'ai donc essayé de poser e^(-x)=(-x)^n/n! mais bon, ça ne sort de nul part et je reste bloqué.
J'aimerai bien comprendre les erreurs à ne pas faire pour retomber sur ch et sh, et si jamais vous avez un lien quelconque qui montre clairement la démarche pour retrouver ces développements sans passer par la formule de taylor, je suis preneur.
Merci.

[invite6de5f0ac]

Je ne sais pas si j'ai le droit de dire que e^(-x) = 1/e^x = somme sur n de 1 à l'infini de n!/x^n
Cela semble faux à première vue car la somme diverge.

Bonjour,

Non, tu n'as pas le droit. Et c'est faux même à seconde vue...

Il est vrai que exp(-x) = 1/exp(x). Mais si

exp(x) = Σ xⁿ / n!

l'inverse d'une somme (finie ou infinie) n'a jamais été la somme des inverses! On a en fait:

exp(-x) = Σ (-1)ⁿxⁿ / n!

qui est une somme alternée. En additionnant terme à terme avec exp(x) tu vois qu'un terme sur deux dégage, d'où le développement de ch(x).

-- françois

P.S. Pour ce genre de calculs, il vaut mieux dans un premier temps ne pas trop se préoccuper de la convergence des séries et faire "comme si" tout se passait bien. Après on regarde le domaine de convergence (et des fois on est très déçu).

[invite63840053]

D'accord merci, je vais essayer de voir si ça marche avec tout le reste.

[invitedf667161]

P.S. Pour ce genre de calculs, il vaut mieux dans un premier temps ne pas trop se préoccuper de la convergence des séries et faire "comme si" tout se passait bien. Après on regarde le domaine de convergence (et des fois on est très déçu).

+1, on y va comme un bourrin, et on vérifie à posteriori que ca converge sur tel ou tel domaine.
Bien sur il ne faut pas le dire qu'on fait comme ça, ni oublier de vérifier à posteriori les domaines de convergence !

[A voir en vidéo sur Futura]