Une question sur les calculs de surfaces
1-Pourquoi la surface d'un objet plan dépend de sa forme géométrique.
Autre façon de poser la question: Pourquoi une ligne fermée sur un plan délimitant une surface, ne conserve pas cette surface si je déforme cette ligne.
2-Pourquoi ne pas prendre en référence le cercle pour le calcul des surfaces.
Bonjour,
Pourquoi? J'avoue que je ne me suis jamais posé la question1-Pourquoi la surface d'un objet plan dépend de sa forme géométrique.
Autre façon de poser la question: Pourquoi une ligne fermée sur un plan délimitant une surface, ne conserve pas cette surface si je déforme cette ligne.Disons que c'est comme ça expérimentalement, c'est une bonne fausse raison...
Mais si la surface se conservait par déformation, on peut penser qu'un principe variationnel imposerait que les seules formes naturelles seraient les cercles et les sphères. Ça serait peut-être rigolo, mais ce n'est manifestement pas le cas.
Là l'idée paraît plus raisonnable. On pourait définir l'unité de surface comme la surface d'un cercle de rayon 1, par exemple. On aurait alors des "mètres ronds" au lieu de "mètres carrés", avec 1 m° = pi m².2-Pourquoi ne pas prendre en référence le cercle pour le calcul des surfaces.
Ça reste homogène à des m², mais je crains que ça ne complique les choses. Dans l'idée de mètre carré, il y a implicitement celle d'axes orthogonaux, il me semble; si on raisonnait plus naturellement en polaires, ça serait peut-être intéressant. Faut voir...
-- françois
Bonjour,
Je ne suis pas en mesure de répondre à ta question, mais voici comment je l'interprete.Envoyé par GG53
la proposition, surface, telle qu'ennoncée laisse entendre qu'il s'agit d'une valeur.
On peut associer à chaque valeur de surface un ensemble de formes geometriques, dont le cercle.
Il n'existera qu'une seule possibilité pour tracer un cercle equivalent à une valeur de surface.
Il existera une seule possibilité pour tracer un carré equivalent à une valeur de surface.
On aura une infinitude de possibilités pour tracer des lignes libres.
Les deux premieres affirmations sont fausses si on ne considere pas l'"objet cercle" ou l'"objet carré" mais un traçage de lignes. (on peut faire tourner ces formes...)
A ta premiere question, je dirait que le concept de surface etant directement lié à celui de son délimitant, modifier le délimitant "peut" modifier la valeur de surface.
A noter qu'il faille définir ce que modifier la ligne de délimitation signifie.
S'il s'agit de changer la longueur de la ligne ou simplement de "tirer" ou "pousser" celle-ci et de ce fait modifier l'ensemble du schema.
Admetons que l'on ne fasse que des modifications de position des lignes delimitantes.(sans étirement)
En partant d'un cercle de diametre D
La longueur fixe du delimitant est PI*D
Sa surface est 1/4*PI*D2
Si je fabrique un carré à partir de ce cercle, chaque coté fera 1/4*PI*D
Sa surface est 1/16*PI*PI*D2
Les deux surfaces ne sont pas equivalentes.
Pour la petite histoire, tiré de Wikipedia :
Sans être mathematicien, je pense néanmoins que ces formes geometriques sont par contre equivalentes du point de vue de la topologie.
On peut alors effectivement pour chaque valeur de diametre d'un cercle, définir un ensemble de surfaces de valeurs variables résultant de la déformation non elastique du cercle.
Si quelqu'un connait la réponse mathematique ou autre, je serait bien heureux de l'apprendre également.
Merci.
Une reponse intuitive qui me vient
La longueur d'une ligne est de dimension 1
La surface est de dimension 2
Calculer une surface necessite de connaitre une information suplementaire à la dimension 1, le positionnement des points de la ligne dans un espace de dimension 2.
C'est un peu comme si on prennait un cube dans la dimension 3.
On ne touche pas à sa dimension 3 (non etirable) et on le positionne dans le temps (dimension 4)
Quel est alors son volume occupé dans la dimension 4 ?
Ca depend comment on le balade
Si on paramétrise la courbe la surface est donnée par l'intégration de la forme différentielle 1/2(xdy+ydx) tandis que la longeur est donnée par sqrt(dx^2+dy^2). Ces formes sont différentes.
Le cercle et le carré sont effectivement homotopes sur R^2 car il existe une déformation continue qui passe de l'un à l'autre. Il faut remarquer tout de même que le carré n'est pas C1 à cause des angles droits.
bonjour,
juste une petite remarque, si tu prends une courbe fermée et que tu la deformes, tu fais varier la surface que tu delimites mais c est le cercle qui te permettra d avoir la surface la plus grande, c est ce qu on appelle l inegalité isoperimétrique, si on note L la longueur de ton lacet et A la surface délimité par ce lacet, on a l inégalité suivante: L^2 >= 4*Pi*A, et on voit qu on a egalité pour le cercle (et seulement pour le cercle), ca se demontre avec des series de fourier je crois
Merci pour les réponses, j'ai trouvé quelqes réponses sur l'encyclopédie Wikipédia
Théorème isopérimétrique
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Le théorème isopérimétrique est un résultat d'extrémalité portant sur l'aire d'un domaine enserré par une courbe fermée. Le cercle est la courbe fermée de plus petite longueur enserrant un domaine connexe d'aire donnée. Dit autrement, le cercle est la courbe fermée enserrant un domaine connexe d'aire maximale pour une longeur donnée. Ce fait n'a connu sa première véritable démonstration qu'en 1875 par Schwarz.
Une des méthodes de preuve, connue depuis la démonstration de Hurwitz en 1901 est d'utiliser un résultat d'analyse, issu de la théorie des séries de Fourier, connu sous le nom d'inégalité de Wirtinger.
Sans chercher des raisons trop complexes, il suffit de se souvenir que la géométrie est historiquement, (et étymologiquement d'ailleurs), la mesure de la terre, au sens le plus ... terre à terre... les champs, les pays... Et que les premiers géomètres étaient des spécialistes en triangulation.
2-Pourquoi ne pas prendre en référence le cercle pour le calcul des surfaces.
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
