Bonjour !
j'ai étudie le comportement en 0 de la fonction suivante definit sur R+* :
j'ai reussit a montrer (par comparaison a l'integrale) que en 0, F(x)~1/x, et plus precisement qu'il existait une constante k telle que F(x) = 1/x+k+o(1)
numeriquement, il semblerait que k=0, mais je n'arrive pas a le prouver.
quelqu'un sais comment on peut prouver que F(x)=1/x+o(1) en 0 ?
Bonjour,
quand tu dis par comparaison intégrale, tu veux dire que tu as fait ça :
?
pas exactement, j'ai formé la difference avec l'integral, j'ai coupé l'integral en paquet (de k a k+1) pour l'intégré dans la somme, et j'ai montré que la serie obtenu convergait uniformement pour s dans [-1/2,1], donc j'en deduis que la difference a une limite finit en 0, et apres j'ai montré que en 0, l'integral etait en 1/s+a+o(1) et j'obtien le résultat voulu, j'ai pas l'impression que cette methode permettent d'obtenir une expression de la constantes, mais le fait que celle ci semble etre egal à 0 me fait penser qu'il y a peut-etre une autre methode pour trouver cela !
Salut Ksilver,
si la littérature est fiable, ta somme vaut bien 1/x+o(1).
On écrit que
En travaillant un peu, on peut faire tendre x vers 0 et permuter les signes somme pour obtenir :
On conclut alors à l'aide des égalités (22) et (115) de la page MathWorld de la fonction zéta.
En fait, ce raisonnement se mord la queue, car il est très probable que la démonstration de l'égalité (115) se fait précisément en utilisant ta fonction F... Mais au moins, maintenant on est rassuré, c'est bien 0. Reste à le démontrer. Là je sêche encore.
oui pas bete sa !
mais sa me donne quand meme une idée en utilisant des formes plus légère des résultats que tu donne !!
on montre facilement que Zeta(1+x)=1/x+gamma+o(1).
et apres on doit pouvoir montré que Zeta(1+x)-F(x) -> gamma (en regroupant les deux sommes et en "calculant" pour x=0 on trouve gamma !)
bref, il ne me reste plus qua montré la serie associé a Zeta(1+x)-F(x) est uniformement convergente au voisinage de 0 et on obtiens le résultat.
je pense que mon probleme est résolu, je vais essayer sa !
en fait, il y a meme convergence normale de cette série sur ]-1/2,+inf[ donc convergence uniforme !
donc si on sais deja que Zeta(1+x) = 1/x+gamma+o(1), la démonstration complete de F(x)=1/x+o(1) tiens en quelque ligne, c'est beaucoup plus simple que ma comparaison à l'integral ^^
Merci !
