Pythagore ?

[leg]

bonjour à tous ,
je me pose toujours la question: en utilisant Pythagore peut on démontrer de façon générale qu'il n'existe pas de solution entière dans une puissance N > 2 et pair; avec les contradictions du cas N=4 ? sans passer par les exposants premiers > 2. Par l'absurde .

S.Germain a démontré le cas N = 5.
Euler le cas N=3 , Fermat N=4 et probablement N=3

Supposons qu'il existe un triplet:
x⁵, y⁵, z⁵ , avec x, y , z premiers entre eux ; entiers non nul
qui vérifie :
(x⁵)² + (y⁵)² = (z⁵)² .
La relation de Pythagore vérifie N=2 et l'équation de Fermat pour N = 10 , et partiellement N = 5 pour x, y et z carré, puisqu’il existerait :

(x²)⁵ + (y²)⁵ = (z²)⁵

Il existe alors, deux entiers non nul, u et v, premiers entre eux et de parité différente. tel que
u² - v² = x⁵
2 u v = y⁵
u² + v² = z⁵

Or (x⁵)² = (x²)⁵ = (z⁵+y⁵) (z⁵-y⁵) ces deux nombres sont premiers entre eux deux à deux , leur produit est un entier à la puissance 5; ils sont eux même deux entiers à la puissance 5 est carré, donc (a²)⁵ et (b²)⁵

(x²)⁵ = (x⁵)² = ((a²)⁵) ((b²)⁵)
ce qui est impossible, le cas N = 4 serait faux !

z⁵ + y⁵ = (a²)⁵ cette équation est pythagorique il existe u₁ et v₁ qui me donne :
u₁² + v₁² = √(a²)⁵
2 u₁ v₁ = √y⁵
u₁² - v₁² = √z⁵

z⁵ - y⁵ = (b²)⁵ cette équation est aussi pythagorique il existe u₂ et v₂ qui me donne :
u₂² - v₂² = √(b²)⁵
2 u₂ v₂ = √y⁵
u₂² + v₂² = √z⁵

y⁵ = 2 u₁ v₁ = 2 u₂ v₂
u₁ = u₂ = u’’ et v₁ = v₂ = v’’
Deux solutions pythagoriques données par le même couple de paramètre u" et v" .
on arrive à l'absurdité suivante: il faudrait que
√z⁵ = √(a²)⁵
(u² - v²) = (u² + v²)

Supposons alors qu'il existe deux couples de réels u' et v' ainsi que u" et v" qui paramètrent ces deux solutions, S.Germain s'est trompée ce qui est tout aussi absurde!
Mais plus important, il existerait alors deux couples de réels tels que définis précédemment, qui donnent un triplet x², y² et z² ; tel qu'il existerait:
(x²)² = (z²+y²)(z²-y²) une solution dans N = 4!

Il n'existe donc pas de solution dans N =10 ,N = 4,N = 6 et plus généralement N >2 pair!
Ou alors ce raisonnement par l’absurde n'est pas valable ? les contradictions du cas N = 4 seraient elles fausses ou elles ne se généralisent pas ?

avec un peu de bonne volonté, quel est votre avis, merci d'avance leg.
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[shokin]

Si tu fais une recherche sur le forum, tu trouveras déjà des discussions sur le Théorème de Fermat.

Shokin

[leg]

Si tu fais une recherche sur le forum, tu trouveras déjà des discussions sur le Théorème de Fermat.

Shokin

qui répond à cette question ?

[shokin]

1 Tu y avais participé.

2 Aussi.

Voilà ! désolé de ne pas pouvoir t'aider plus. Je ne suis pas un connaisseur de ce domaine.

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[leg]

1 Tu y avais participé.

2 Aussi.

Voilà ! désolé de ne pas pouvoir t'aider plus. Je ne suis pas un connaisseur de ce domaine.

Shokin

je pensais que tu faisais allusions à d'autre fil.

c'est d'ailleur pour cela que je repose cette question sur ce cas trés précis; en utilisant cette propriété du théorème de pythagore avec la formule des triplets Pythagoriciens
soit la contradiction du cas n=4 est généralisable soit elle ne l'est pas, dans ce cas le raisonnement par l'absurde est faux ce qui pose un serieux problème .

Sans être un spécialiste il me parraissait évident qu'un tel triplet de produits de puissance N premier > 1ne pouvait exister; car on ne peut pas dire qu il existerait un triplet d'entiers donné par deux réels mais qui ne serait pas donné par deux entiers; ou alors la formule des triplets pythagoriciens est fausse ??? elle ne donne pas tous les triplets d'entiers.
depuis 2000 ans je pense que cela se saurait....non?

ce sujet peut donner matière à réfléchir sur cette question, sinon peut être que Fermat dérange, si cette solution est vrai..car pour être trivial est élémentaire,elle l'est.

A+ leg

[shokin]

Tu peux également lire The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles ainsi que tous les autres liens sur la page Wikipedia en anglais icitte.

Peut-être que tu vas trouver de quoi.

Shokin

[leg]

salut Shokin
merci pour le lien, citation:
"
Contrairement à ce qu'on a pu parfois voir dans des journaux ou à la télévision (en raison du type de formule qui y figure), ce théorème n'a pas vraiment de relation avec le théorème de Pythagore : en fait, l'objet du théorème de Pythagore est de donner une caractérisation géométrique des triangles pythagoriciens, c'est-à-dire dont les longueurs des côtés forment un triplet pythagoricien, ces triplets étant eux-mêmes les solutions de l'équation de Fermat dans le cas n = 2 ; l'analogie avec le théorème de Fermat est donc la question de l'existence de triplets pythagoriciens, et la question de leur interprétation géométrique est nettement une autre question. Remarquons enfin que Fermat s'est évidemment inspiré de la notion de triplet pythagoricien : sa conjecture est en effet notée en marge d'un exposé de Diophante sur les triplets pythagoriciens. "

Fermat était malin....

je ne sais pas qui à écrit cet article , mais si il n'y avait pas de relation, et qu'il existe une solution c'est a dire un triplet pythagoricien dans la puissance N = 2 donc qui vérifie le cas N=4 et N=2 de l'équation de fermat et par obligation, la relation du théorème de Pythagore ,
Z² = x² + y² le théorème de pythagore ne voudrait rien dire, on pourait par exemple dire ; z² = y² + d²;
où Y = 2uv et d = (u - v)² au lieu de u² - v²...d étant la différence entre z et y ???
de plus un triplet de Pythagore ne peut jamais être une solution Z = X + Y sans être mis au carré sinon ce théorème est faux! de plus celà donnerait un angle plat 180° et les deux segments z et (x+y) se superpose.

il ne faut quand même pas oublier que quelque soit une solution qui existerait dans une puissance pair est solution de l'équation de Fermat, mais vérifie aussi la relation de Pythagore: X² + Y² = Z² c'est à dire
pour les solutions primitives :
(u² + v²)² + (2uv)² = (u² + v²)² .

On peut donc grace à cette formule vérifer l'equation de Fermat avec la relation du théorème de pythagore ou l'inverse pour N pair >= 2 ; car cela serra toujours une solution : X² + Y² = Z²
d'où: u² + v² = z^n , 2uv = y^n et u² - v² = x^n !
avec n premier! en commençant par n = 2 , 3 , 5, ..etc

autre citation, du même auteur : ...ces triplets que l'on appel parfois triplets de Pythagore ...? pourquoi depuis 2000 ans on les appelle comment..? Ce n'est pas trés serieux.
A+

[leg]

Je me demande d'ailleur pour les équations de Fermat avec l'expsoant N pair, si ce n'est pas tout simplement un corollaire du théorème de Pythagore:
Z² = X² + Y² alors il n'exsite pas de solution dans N = 4 et plus généralement dans N pair!
Z² = Y² + d² n'a pas de solution ! en effet
u² + v² = 2uv + (u -v)² donc si dans un triplet Z est un carré Y ne peut en être un! c'est tout simple, mais il fallait y penser; je pense que Fermat ne pouvait l'ignorer.

[ericcc]

Regarde ce lien, tu verras la réponse à tes questions :
[URL="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html"]