une equation chaude

[invite91417959]

Si on prend l'équation X(X+1)=8Y(Y+1) avec des X et Y quelconques, on se ramène à une équation de pell fermat qui possède une infinité de solutions. Pour ma part je ne suis pas sur que vérifier que ces solutions ne soit pas des puissances de 2 soit si simple. Je pense que le mieux est de garder l'équation de départ car la contrainte X=2^x est tres forte. Il faudrait peut
être en utilisant des congruences avec une descente infinie montrer que (x=0,y=2) et (x=4, y=23) sont les seules solutions
Au vu de la deuxième solution, ce problème me semble difficile

[invite636fa06b]

Si on prend l'équation X(X+1)=8Y(Y+1) avec des X et Y quelconques, on se ramène à une équation de pell fermat qui possède une infinité de solutions. Pour ma part je ne suis pas sur que vérifier que ces solutions ne soit pas des puissances de 2 soit si simple. Je pense que le mieux est de garder l'équation de départ car la contrainte X=2^x est tres forte.

Bonjour,
Je pense que tu as raison, il n'est pas difficile de trouver toutes les solutions en X=2^x. Trouver celles qui sont puissance de 2 est moins simple
D'où euler2007 nous sort cette question ?

[invite636fa06b]

En fait, il n'est pas très difficile de montrer que les seules solutions sont (0;2) et (4;23).
La solution (0;2) étant identifiée, on peut raisonner à partir de x>1, ce qui implique que y soit impair.
donc y²-1 sera multiple de 4 et on vérifie que x=2 n'est pas solution.
En posant y=2p+1, l'équation devient
avec x>2
p et p+1 sont de parités différentes, donc l'un des deux est multiple de 2^(x-2) et
On en déduit aisément que k est impair et inférieur ou égal à 3.
Il suffit alors de vérifier une à une les quatre possibilités dont une seule est solution (4;23)
Il n'y en a pas d'autres.
C'est un peu besogneux, il y a sans doute plus élégant