Problème de courbes de niveaux

[invitec619acd1]

Bonjour à tous !!
Je suis à nouveau en difficulté face à un problème sur les courbes de niveau. Je dois déterminer les différentes courbes de niveau f de la fonction défini par :

f(x,y)= x^2-y^2/x^2 +y^2 différent de (0,0)
J'arrive à déterminer les courbes de niveau de x^2+y^2 et x^2-y^2 séparément , cela me donne un cône formé de diiférent cercle de centre 0 .
Mais je n'arrive pas à comprendre comment faire lorsque ces deux fonctions sont réunies dans la fonction de départ, en tant que quotient. Faut-il seulement les ajouter ensemble ? ou bien c'est une autre méthode?
Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait super !!!
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[invite3bc71fae]

Je ne sais plus comment on étudie ça systématiquement, mais on peut déjà dire que |f(x,y)|<=1.
On peut dire aussi que la courbe f(x,y)=0 sont les bissectrices des axes du repère privé de O.

[invitea3eb043e]

Les courbes de niveau correspondent à des valeurs de z données.
Si j'ai bien compris : z = (x²-y²)/(x²+y²)
Pour une valeur donnée et bien choisie dans le bon intervalle de z, on a donc :
x²(1-z) = y²(1+z)
Ca donne quoi, comme courbes ?

[invitec619acd1]

Ca donne une parabole tel x^2 rempli à l'intérieur par des cercle de rayons de plus en plus grand et de centre l'axe des ordonnés (il me semble)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec619acd1]

Quoique , je ne vois pas comment tu as réussit à transformer l'équation avec ce terme donc je ne sais pas si on retombve sur la même chose.

[invitea3eb043e]

L'équation est-elle :
f(x,y) = x² + y² - y²/x² ou bien
f(x,y) = (x² - y²)/(x² + y²) ?

[invitec619acd1]

f(x,y) = (x² - y²)/(x² + y²) c'est bien celle là

[invitea3eb043e]

Si c'est bien ça (je m'en doutais pour des raisons d'homogénéité), il faut assimiler l'équation à une surface telle que z = f(x,y)
Une courbe de niveau, c'est l'ensemble des points tels que z = z0, paramètre qu'on peut ensuite faire varier.
Si tu imposes f(x,y) = z0, tu imposes une relation assez simple entre x et y.
Si x et y sont réels, z0 ne peut prendre n'importe quelle valeur.
Ensuite, tu étudies la relation entre x et y pour z0 imposé dans le domaine qui va bien, ce qui définit des courbes dans le plan z = z0.
Ici, ces courbes sont particulièrement simples.

[invitec619acd1]

Oui j'ai réussi à le faire en faisant comme tu m'as expliqué. Cela forme différentes droites en fait, certaine ne passant pas par zéro. Il fallait comme tu la dit , remplacer z par chaque niveau qu'on voulait, comme par exemple par 0, et exprimer notre fonction en faisant passé des termes sur le côté.
Merci beaucoup !!