lien entre k et deg d'un reste sous Zk

[invitebe6c366e]

Bonjour, pour ma question, nous sommes sur l'anneau des polynômes Zk[x].

Je veux caractériser k pour montrer que Zk[x]=<x²+x+1,ax+b>, donc que <x²+x+1> est maximale. Alors, c'est dans cet optique que je me demande s'il existe un lien entre le deg(r) et k, r étant le reste de la division de (ax+b)*q(x) par x²+x+1 ? q(x) appartient à Zk[x]. Plus spécialement pour que deg(r)=1.

J'ai réussi à montrer que k doit être premier mais il y a des k premiers pour lequel <x²+x+1> n'est pas maximal... merci !
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[invite9cf21bce]

Salut Maquessime.

J'ai supposé que tu voulais dire Z_k[x]=<x²+x+1,ax+b> pour tous a (différent de 0) et b.

Je ne comprends pas pourquoi tu as besoin de prendre q(x) quelconque pour ton histoire de reste. Tu travailles modulo x²+x+1, donc pourquoi ne pas prendre q(x) de degré au plus 1 ?

À part ça, comme toi j'ai ramené le problème à k premier. Puis j'utilise la grosse artillerie pour trouver les bons nombres k. Dis-moi si ça t'intéresse.

[invitebe6c366e]

Oui, ça m'intéresse, quel approche as-tu utilisé pour trouver les k ?

[invite9cf21bce]

Bon, si k est premier alors Z_k est un corps, donc Z_k[x] est principal.
Dans ce cas <x²+x+1> est maximal précisément lorsque le polynôme x²+x+1 est irréductible ; comme il est de degré 2, ceci signifie qu'il n'a pas de racine dans Z_k.
Si k<>2 ceci se produit lorsque le discriminant -3 n'est pas un carré modulo k (car 2 est inversible). On utilise alors le symbole de Legendre et la loi de réciprocité quadratique pour obtenir une condition sur k (k=2 ou k est congru à 2 modulo 3).
Voir wikipedia.

Si tu ne connais pas les résidus quadratiques, bon courage !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe6c366e]

merci c'est gentil, je m'attaque au problème !

[invitebe6c366e]

J'ai réussi, par contre, ne faut-il pas prouver que si x^2+x+1 est irréductible, alors <x^2+x+1> est maximal ? Ou on n'a pas nécéssairement besoin d'un si seulement si pour caractériser le k ?

[invite9cf21bce]

Bravo !

Je suppose qu'on doit pouvoir se passer du "si et seulement si" si on est vraiment vicieux, quitte à trouver une réciproque ad hoc. Mais là, l'équivalence <P> maximal ssi P irréductible est vraie, alors autant en profiter.

Désolé si j'ai employé "précisément lorsque", "ceci signifie que", etc. comme périphrases pour "équivaut à". Je considère souvent la succession d'équivalences comme un challenge stylistique.