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lien entre k et deg d'un reste sous Zk



  1. #1
    Maquessime

    lien entre k et deg d'un reste sous Zk


    ------

    Bonjour, pour ma question, nous sommes sur l'anneau des polynômes Zk[x].

    Je veux caractériser k pour montrer que Zk[x]=<x2+x+1,ax+b>, donc que <x2+x+1> est maximale. Alors, c'est dans cet optique que je me demande s'il existe un lien entre le deg(r) et k, r étant le reste de la division de (ax+b)*q(x) par x2+x+1 ? q(x) appartient à Zk[x]. Plus spécialement pour que deg(r)=1.

    J'ai réussi à montrer que k doit être premier mais il y a des k premiers pour lequel <x2+x+1> n'est pas maximal... merci !

    -----

  2. #2
    Taar

    Re : lien entre k et deg d'un reste sous Zk

    Salut Maquessime.

    J'ai supposé que tu voulais dire Zk[x]=<x2+x+1,ax+b> pour tous a (différent de 0) et b.

    Je ne comprends pas pourquoi tu as besoin de prendre q(x) quelconque pour ton histoire de reste. Tu travailles modulo x2+x+1, donc pourquoi ne pas prendre q(x) de degré au plus 1 ?

    À part ça, comme toi j'ai ramené le problème à k premier. Puis j'utilise la grosse artillerie pour trouver les bons nombres k. Dis-moi si ça t'intéresse.

  3. #3
    Maquessime

    Re : lien entre k et deg d'un reste sous Zk

    Oui, ça m'intéresse, quel approche as-tu utilisé pour trouver les k ?

  4. #4
    Taar

    Re : lien entre k et deg d'un reste sous Zk

    Bon, si k est premier alors Zk est un corps, donc Zk[x] est principal.
    Dans ce cas <x2+x+1> est maximal précisément lorsque le polynôme x2+x+1 est irréductible ; comme il est de degré 2, ceci signifie qu'il n'a pas de racine dans Zk.
    Si k<>2 ceci se produit lorsque le discriminant -3 n'est pas un carré modulo k (car 2 est inversible). On utilise alors le symbole de Legendre et la loi de réciprocité quadratique pour obtenir une condition sur k (k=2 ou k est congru à 2 modulo 3).
    Voir wikipedia.

    Si tu ne connais pas les résidus quadratiques, bon courage !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Maquessime

    Re : lien entre k et deg d'un reste sous Zk

    merci c'est gentil, je m'attaque au problème !

  7. #6
    Maquessime

    Re : lien entre k et deg d'un reste sous Zk

    J'ai réussi, par contre, ne faut-il pas prouver que si x^2+x+1 est irréductible, alors <x^2+x+1> est maximal ? Ou on n'a pas nécéssairement besoin d'un si seulement si pour caractériser le k ?

  8. #7
    Taar

    Re : lien entre k et deg d'un reste sous Zk

    Bravo !

    Je suppose qu'on doit pouvoir se passer du "si et seulement si" si on est vraiment vicieux, quitte à trouver une réciproque ad hoc. Mais là, l'équivalence <P> maximal ssi P irréductible est vraie, alors autant en profiter.

    Désolé si j'ai employé "précisément lorsque", "ceci signifie que", etc. comme périphrases pour "équivaut à". Je considère souvent la succession d'équivalences comme un challenge stylistique.

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