Lien entre f et f''

[invitea87a1dd7]

Bonjour à toutes et à tous !
Voilà, au milieu d'un problème sur les intégrales paramétrés, je tombe sur la fonction f ainsi définie :


On demande :
1) Déterminer l'ensemble de déf de f. Préciser l'ensemble sur lequel f est continue ; limite de f lorsque x tend vers l'infini
Bon ca c'est facile
2) Sur quel ensemble f est-elle de classe C2 ? Etablir une relation entre f et f''
Alors là, j'applique le théorème avec la classe C1 pour faire rentrer l'opérateur de dérivation dans l'intégrale (on a besoin d'une domination locale). Ca va, je le fais 2 fois (les hypothèses sont assez longues à rédiger) et j'obtiens donc f'' :


Mais impossible de trouver une relation simple entre f et sa dérivée seconde...
Si quelqu'un avait une petite astuce ! J'ai essayé l'intégration par partie, mais je trouve pas...

Merci de votre aide
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[invitedef78796]

Salut,

A moins que je ne dise une bêtise, que penses tu de f''+f ?

Voilà

[invitea87a1dd7]

Ah génial merci Effectivement maintenant qu'on le voit c'est très simple (mais comme toujours en maths) ... Merci encore

[GrisBleu]

salut

faut toujours penser a l astuce sioux
, en l occurence

++

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea87a1dd7]

Oui l'astuce qui sauve tout !
Bon alors maintenant, je n'arrive pas à résoudre l'équadiff :
f(x)+f''(x) = 1/x ( si x>0 )

Je résoud pourtant l'homogène, je trouve ( x->cos(x) ; x->sin(x) ) comme système fondamental ! Mais après, impossible d'avoir une solution particulière évidente, et donc je sais pas comment aboutir à la solution générale...
J'ai tenté la méthode de division par une solution de la particulière, mais il y a un problème d'annulation, donc marche pas.. Comment faire ça proprement ?

Merci

[invite4793db90]

Salut,

as-tu pensé à calculer f+f" avec
???

Dans un exo, les questions préliminaires sont rarement gratuites...

Cordialement.

[invitea87a1dd7]

Bah oui ca donne justement 1/x, comme je l'ai marqué au dessus...

[invite4793db90]

Mais après, impossible d'avoir une solution particulière évidente,

Ben alors, tu es bien sûr?

[invitea87a1dd7]

Euh oui, je vois vraiment pas...s'il y en a une vraiment facile, laissez moi chercher

[invitea87a1dd7]

Non, finalement, je vois rien, t'es sûr qu'il y en a une ?

[invitec314d025]

Bah oui ca donne justement 1/x, comme je l'ai marqué au dessus...

Ce qui signifie que c'est bien une solution particulière ...

[invitea87a1dd7]

Bah non, l'équadiff :
f(x)+f"(x) = 1/x, une solution n'est pas x->1/x !! C'est justement le second membre...

[invitec314d025]

Qui a parlé de x->1/x ?
Ta fonction qui est solution particulière c'est celle-là:


Ca t'a demandé suffisament d'effort pour le démontrer, ce serait dommage de ne pas s'en servir.

[invitea87a1dd7]

Oki donc, suffit de l'ajouter à la solution générale de l'homogène...et j'ai la solution générale demandée !
Bon merci merci

[invitea87a1dd7]

Bon j'ai encore un problème
On pose :
a est un réel strictement positif, X un réel supérieure ou égale à a :


On demande si les deux expressions ont une limite lorsque X tend vers +infini. Seule S a une limite (c'est Pi/2)

Ensuite on définit sur D = ]0;+infini[, g et h par :


(déja c'est bizarre, car h(x) n'existe pas...)

Il faut exprimer la solution générale précédente, à savoir :


en fonction des fonctions g et h...
Et c'est là que c'est bizarre, j'arrive bien à simplifier g(x) en l'écrivant :

Mais ca n'avance pas plus.
En fait le problème c'est les bornes, je n'arrive pas à faire une combinaison linéaire de h et g pour avoir f.

[invite6b1e2c2e]

Salut !

g et h ne seraient-elle pas solution d'une équation différentielle ?
De plus, C et S convergent ou divergent ensemble car sin(x) = cos(x-Pi/2) !!!!

__
rvz

[invitea87a1dd7]

Oui tu as raison, C et S converge en fait (mais ne sont pas absolument convergente je crois)...
Bon par contre pour h et g, je pense pas qu'il y ait une équadiff derrière, car la variable est dans les bornes d'intégration.

[invitedef78796]

Qui a parlé de x->1/x ?
Ta fonction qui est solution particulière c'est celle-là:


Ca t'a demandé suffisament d'effort pour le démontrer, ce serait dommage de ne pas s'en servir.

Je me demande quand même si on ne tourne pas un peu en rond, on a montré que f etait solution de l'équadiff
f(x)+f''(x) = 1/x ( si x>0 ) et on utilise le fait qu'elle en est solution particulière pour l'ajouter à la solution homogène. Et donc on retrouve f avec la définition de départ... .

L'exercice voulait peut-être une résolution plus explicite non ?

[invitea87a1dd7]

En fait le but de l'exo, c'est de transformer l'expression de f. Si on arrive à exprimer la solution générale en fonction de g et h, à la fin, on demande d'en déduire 2 expressions de f :

[invitedef78796]

Bon pour la fin ça va (ie pour montrer que les deux expressions sont égales).

C'est plutôt pour le début avec la résolution de l'équadiff, il faut se contenter de trouver l'équadiff ou la résoudre ?

Si c'est juste la trouver qui compte, tu n'as pas besoin de rajouter à f la solution homogène, elle est déjà solution...

[invitea87a1dd7]

Au début on demande une relation simple entre f et f", c'est en fait l'équadiff, qu'on demande de résoudre ensuite et d'en exprimer une solution générale.

[invitea87a1dd7]

Ouais c'est hyper bizarre en fait, on tourne en rond effectivement.
Je viens de résoudre l'équation avec Mathematica, il me donne la solution :
x -> A Cos[x] + B Sin[x] + Ci[x] Sin[x] - Cos[x] Si[x]
Où Si et Ci sont définie par :


Ce qui voudrait dire que f est égale à Ci[x] Sin[x] - Cos[x] Si[x], et effectivement, en faisant le calcul direct de f avec Mathematica, il me donne ce même résultat (pas exactement sous cette forme, mais j'ai vérifié à la main si c'était égal).. Mais je comprend pas, normalement, on doit exprimer la solution générale en fonction des Ci et Si (ou g et h, c'est quasiment pareil) pour pouvoir expliciter f, or ici on a besoin de calculer f pour développer la solution générale !

[invite6be2c7d9]

Ayrawhsia Aathsir Tia>c'est une impression ou tu es en train de faire le sujet mines mp 2004 ?
++ Cyp

[invite6be2c7d9]

Voilà si ça t'intéresse j'ai trouvé une proposition de corrigé sur Internet, ça te permettra peut être d'avancer plus vite si tu dois faire le sujet en entier (quoique regarder le corrigé directement n'ait pas grand intérêt )
++ Cyp

[invitea87a1dd7]

Nan je savais pas, mais bon je préfère chercher moi même ou demander ici un peu d'aide

[invitea87a1dd7]

Bon alors, j'ai vérifié avec le corrigé, j'ai à peu près bon pour ce que j'ai fait, mais je bloque je comprend pas comment intégrer A' et B' à la fin de la méthode de variation des constantes. Pourquoi on intègre entre x et +infini ? (normalement, c'est une primitive, mais là...)
A-t-on le droit de dire que, par exemple, sin(x)/x est une primitive d'une fonction nulle en +infini ? et donc c'est pour ça qu'il y a le signe moins (renversement des bornes d'intégration) ?

edit : oui il semble que ce soit ça, c'est bizarre, je pensais pas qu'on pouvait faire ça avec des bornes infinies