polynome et racine triple...
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 3 sur 3

polynome et racine triple...



  1. #1
    invite865476c5

    Question polynome et racine triple...


    ------

    bonjour tout le monde!

    je suis actuellement en révision pour mes partiels qui sont la semaine prochaine, et je suis surpris par un exercice sur les polynome...

    On a un polynome du 4ème degrès, et il faut vérifier qu'il possède une racine triple...

    Je n'y arrive pas...
    Dans le corrigé, ils dérivent P(X) deux fois : on obtient P''(X) équation deu second degrès, ils calculent ses racines, et ils disent que la racine triple est une de ces deux racines.

    Moi je veux bien refaire ça bêtement si on a un exo dans le genre, mais j'aimerais mieux comprendre la relation entre une racine triple et une racine de la dérivée de la dérivée du polynome...

    je ne sais pas si je me fais bien comprendre...
    enfin bon bref, si vous voyez ce qui me pose problème et que vous voulez bien me répondre, ca serait très sympa!

    merci d'avance, et à bientôt!

    -----

  2. #2
    invite35452583

    Re : polynome et racine triple...

    Bonjour,
    si a est racine triple de P(X) cela signifie que P(X)=
    P'(X)=3(X-a)²Q(X)+(X-a)^3.Q'(X)
    P''(X)=6(X-a)Q(X)+6(X-a)²Q'5x)+(X-a)^3.Q''(X)
    ainsi a est racine de P, P', P".
    L'inverse est vrai aussi.
    P(a)=P'(a)=P"(a)=0
    P(X)=P*(X-a) P* se calcule tout simplement en posant P(X)=P((X-a)+a) en posant Y=X-a en développant le polynôme en Y.
    P(X)=an(X-a)^n+...+a2(X-a)²+a1(X-a)+a0
    P(a)=0=>a0=0
    P'(a)=>a1=0
    P''(a)=>a2=0

    Ce lien entre racine n-ème et racine des polynômes P,P',...P(n-1) est vrai pour tout n.

  3. #3
    GuYem

    Re : polynome et racine triple...

    Salut,

    Si tu as un polynôme et a une racine de degré n de ce polynome, alors a annule non seulement P (c'est la moindre des choses !) mais aussi P', P'', etc jusqu'à P^(n-1) où P^(n-1) est la dérivée n-1-ième de ton polynôme. La réciproque est vraie.

    Du coup, si tu montres que a annule P, P' et P'', alors tu as montré que a est une racine triple de ton polynôme.
    Dernière modification par GuYem ; 14/12/2006 à 15h47. Motif: EDIT : holala, bien grillé par une homotopie trés en forme
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

Discussions similaires

  1. polynome racine évidente et factorisation
    Par invite8937d22e dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 8
    Dernier message: 11/11/2007, 13h50
  2. racine de polynome degré 3
    Par invite4e90fdfc dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 14/10/2007, 16h12
  3. Polynome de Laguerre et racine
    Par invitef1754d56 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 22/09/2007, 17h49
  4. polynome 2 racine inverses
    Par inviteb3540c06 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 09/04/2007, 01h49
  5. Polynôme et racine complexe
    Par invite0e99e5c4 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 12/12/2006, 09h24