polynome et racine triple...

[invite865476c5]

bonjour tout le monde!

je suis actuellement en révision pour mes partiels qui sont la semaine prochaine, et je suis surpris par un exercice sur les polynome...

On a un polynome du 4ème degrès, et il faut vérifier qu'il possède une racine triple...

Je n'y arrive pas...
Dans le corrigé, ils dérivent P(X) deux fois : on obtient P''(X) équation deu second degrès, ils calculent ses racines, et ils disent que la racine triple est une de ces deux racines.

Moi je veux bien refaire ça bêtement si on a un exo dans le genre, mais j'aimerais mieux comprendre la relation entre une racine triple et une racine de la dérivée de la dérivée du polynome...

je ne sais pas si je me fais bien comprendre...
enfin bon bref, si vous voyez ce qui me pose problème et que vous voulez bien me répondre, ca serait très sympa!

merci d'avance, et à bientôt!
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[invite35452583]

Bonjour,
si a est racine triple de P(X) cela signifie que P(X)=
P'(X)=3(X-a)²Q(X)+(X-a)^3.Q'(X)
P''(X)=6(X-a)Q(X)+6(X-a)²Q'5x)+(X-a)^3.Q''(X)
ainsi a est racine de P, P', P".
L'inverse est vrai aussi.
P(a)=P'(a)=P"(a)=0
P(X)=P*(X-a) P* se calcule tout simplement en posant P(X)=P((X-a)+a) en posant Y=X-a en développant le polynôme en Y.
P(X)=an(X-a)^n+...+a2(X-a)²+a1(X-a)+a0
P(a)=0=>a0=0
P'(a)=>a1=0
P''(a)=>a2=0

Ce lien entre racine n-ème et racine des polynômes P,P',...P(n-1) est vrai pour tout n.

[invitedf667161]

Salut,

Si tu as un polynôme et a une racine de degré n de ce polynome, alors a annule non seulement P (c'est la moindre des choses !) mais aussi P', P'', etc jusqu'à P^(n-1) où P^(n-1) est la dérivée n-1-ième de ton polynôme. La réciproque est vraie.

Du coup, si tu montres que a annule P, P' et P'', alors tu as montré que a est une racine triple de ton polynôme.