Polynome de Laguerre et racine

[invitef1754d56]

On definit le polynome de lagrange par Pn(X)= [exp(X)/n!]*D^n[(X^n*exp(-X)] ou D^n signifie la derivée -ieme d terme qui suit.

J'ai prouver facilement grace a Leibniz que Pn est de degré n mais on me demande maintenan de montrer qu'il a n racines simples dans R+ (privé de 0) et je ne vois pas comment faire..Merci d'avance.
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[invitec053041c]

Bonjour.

Une idée qui me vient comme ça est de le montrer par récurrence. Supposer que Pn s'écrit a(X-a1)...(X-an) et vérifier que P(n+1) a (n+1) racines.

Mais je ne promet rien.