équaddif [petites mines 1991]

[invite37c192d1]

Bonjour et bonne année à tous!!

voilà, j'ai un problème d'équation différentielle:
(1-e^x)(1+e^2x)y' + 2e^3xy=g(x)

on me demande premièrement de trouver g(x) telle que f(x)=x(1-e^x) soit solution de l'équation;
ce que j'ai donc fait c'est que j'ai dérivé f et en remplaçant ds l'équadiff, je trouve g(x)

ms c'est une fonction horrible et du coup, la deuxième question qui est :

on définiera g ainsi pr la suite du dm. résoudre l'équation sur ]-inf;0[ et sur ]0;+inf[
je galère, vu l'allure de g (puisque je refais entièrement le calcul sans me servir de la question précédente)...
Y aurait-il une "astuce" que je n'aurais pas vu?
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[chwebij]

j'ai fait un peu truc a ma sauce je ne sais pas si c'est bon mais bon c'est déja quelque chose

g(x)=(1-e^x)(1+e^2x)'f(x) + 2e^3xf(x)

qu'on réinjecte

dans l'équation

(1-e^x)(1+e^2x)y' + 2e^3xy=g(x)=(1-e^x)(1+e^2x)f'(x) + 2e^3xf(x)
ainsi on a
(1-e^x)(1+e^2x)(y'-f'(x)) + 2e^3x(y-f(x))=0

et je remplace par k(x)=y-f
si on sépare les variables

(1-e^x)(1+e^2x) + 2e^3x(y-f(x))=0

on a donc
(1-e^x)(1+e^2x) + 2e^3xk=0




après il faut intégrer

[Jeanpaul]

Ce qui revient au même, on peut dire que f est une solution particulière. Reste à trouver la solution générale de l'équation sans second membre, ce qui se fait assez simplement en posant exp(x) = u.

[invite37c192d1]

Merci de cette précision Jeanpaul car je ne voyais pas trop où chwebij voulait en venir...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite37c192d1]

désolé mais rn fait, je n'arrive pas à trouver la solution générale, bien sûr je sais comment faire, mais je n'arrive pas à trouver la primitive... même avec le changement de variable, c'est quoi votre "technique"?

[invite37c192d1]

Personne ne veut m'aider?

[Jeanpaul]

Tout a été dit par chwebij. La solution générale de l'équation sans second membre, c'est ce qu'il appelle k.
Pour trouver cette fonction k, il sépare les variables : k' et k à gauche et une fonction de x à droite.
Intégrer à gauche, ça donne Ln(k), à droite c'est un peu plus subtil mais si on pose exp(x) = u, on voit venir une fraction rationnelle de u qui s'intègre par les moyens appris dans le cours.
Je rappelle que exp(3x) = exp(2x)*exp(x) et que exp(x) dx = du

[invite37c192d1]

Désolée de vous embêter, mais c'est justement cette intégration que je n'arrive pas à faire, j'ai (-2u²*du)/((1-u)(1+u²)), et je ne sais pas l'intégrer... (Pas de cours sur les intégrations...)
Je ne veux cependant pas vous embêter, mais une explication plus détaillée serait la bienvenue... (svp)

[Jeanpaul]

Evidemment, si tu n'as pas de billes, comment veux-tu jouer dans la cour des grands ?
Sans vouloir refaire le cours sur la décomposition en facteurs principaux, je te ferai remarquer qu'on eput écrire :
-2 u² /((1-u)*(1 + u²)) comme une somme du genre :
-1/(1-u) + 1/(1+u²) + u/(1+u²)
et là, tu devrais reconnaître des fonctions connues.

[chwebij]

il faut réduire en élement simple la fraction rationnelle

[invite37c192d1]

merci et désolée jeanpaul ^^