Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 8 sur 8

"sous-structure de R"



  1. #1
    Seirios

    "sous-structure de R"


    ------

    Bonjour à tous,

    En essayant de démontrer que C est un sous-espace vectoriel sur R, je me suis retrouvé confronté au fait que R devait posséder une loi de composition interne +.

    C'est bien évidemment le cas, mais afin de le démontrer, il faudrait que l'ensemble R ait une "sous-structure" (je ne pense que l'usage de cette expression soit correctement utilisé ici ).

    Par exemple, on a pour les complexes, mais quand est-il des réels ?

    Arrivé un certain point, on arrivera de toute façon à des ensembles sans "sous-structure", et on devra utiliser des axiomes. Mais est-ce le cas pour R ?

    Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

    Merci d'avance
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. Publicité
  3. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  4. #2
    martini_bird

    Re : "sous-structure de R"

    Salut,

    je ne te comprens pas trop ta question : tu t'interroges sur la définition de l'addition des réels, c'est ça ?

    Les opérations (+, ×) sont définies en même tant que R : on peut bien entendu vérifier que ces opérations sont compatibles avec les opérations des sous-structures (rationnels, entiers).

    A vrai dire, pour être tout à fait rigoureux, l'addition des réels n'est pas la même opération que l'addition des rationnels par exemple. Mais on ne fait jamais la distinction évidemment. Par comparaison, si tu fais un peu d'informatique, c'est un peu dans l'esprit du polymorphisme pour les surcharges d'opérateurs.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #3
    Seirios

    Re : "sous-structure de R"

    Merci martini_bird (tu avais bien saisi le sens de ma question )

    Cependant, encore une petite question : Existe-t-il une expression qui définisse les réels, comme l'expression a+ib définie les complexes ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #4
    invité576543
    Invité

    Re : "sous-structure de R"

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Cependant, encore une petite question : Existe-t-il une expression qui définisse les réels, comme l'expression a+ib définie les complexes ?
    Tu veux dire à partir des rationnels, ou des entiers, par exemple?

    Cordialement,

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Moloch57

    Re : "sous-structure de R"

    au même titre que l'on peux considérer C comme un espace vectoriel de dim 2 sur R, on peut considerer R comme un ev sur Q. sauf que ça ce complique.
    d'une part il est de dim infini. dautre part, on sait qu'il possède une base (comme tous les ev, je crois que c'est un corrolaire de l'axiome du choix, sauf erreur) mais on ne sais pas exprimer explicitement cette base. c'est un problème ouvert.

  9. #6
    g_h

    Re : "sous-structure de R"

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Merci martini_bird (tu avais bien saisi le sens de ma question )

    Cependant, encore une petite question : Existe-t-il une expression qui définisse les réels, comme l'expression a+ib définie les complexes ?
    Une façon usuelle de définir un réel est comme limite d'une suite de rationnels (conséquence du fait que est dense dans , c'est à dire qu'entre 2 réels il y a toujours, au moins, un rationnel)

    preuve, même si on se mord un peu la queue, si x est un réel : (E est la fonction partie entière)

    si ça peut répondre un peu à ta question...

  10. Publicité
  11. #7
    Seirios

    Re : "sous-structure de R"

    Citation Envoyé par mmy
    Tu veux dire à partir des rationnels, ou des entiers, par exemple?
    Exactement
    Citation Envoyé par Moloch57
    au même titre que l'on peux considérer C comme un espace vectoriel de dim 2 sur R, on peut considerer R comme un ev sur Q. sauf que ça ce complique.
    d'une part il est de dim infini. dautre part, on sait qu'il possède une base (comme tous les ev, je crois que c'est un corrolaire de l'axiome du choix, sauf erreur) mais on ne sais pas exprimer explicitement cette base. c'est un problème ouvert.
    Je viens de commencé le chapitre sur les espaces vectoriels, donc je ne comprends pas bien ce que tu viens de dire, mais je garde ton explication au chaud et je la ressortirais une fois que j'aurais un peu avancé dans le chapitre. Et merci pour la réponse
    Citation Envoyé par g_h Voir le message
    Une façon usuelle de définir un réel est comme limite d'une suite de rationnels (conséquence du fait que est dense dans , c'est à dire qu'entre 2 réels il y a toujours, au moins, un rationnel)

    preuve, même si on se mord un peu la queue, si x est un réel : (E est la fonction partie entière)

    si ça peut répondre un peu à ta question...
    Ça répond un peu à ma question
    Mais je n'ai pas trouvé (en cherchant sur le net) d'expression de la fonction partie entière E...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  12. #8
    martini_bird

    Re : "sous-structure de R"

    Salut,

    pour construire les réels à partir des rationnels, l'idée est de constater que est plein de "trous", au sens où des suites de rationnels - comme par exemple

    ou - ne convergent pas dans (la première a pour limite , la seconde ).

    Ces suites qui convergent "presque" (on dit qu'elles convergent au sens de Cauchy : les termes consécutifs sont de plus en plus proches les uns des autres) admettent donc des limites intéressantes : la construction consiste finalement à définir les nombres réels comme les limites des suites de Cauchy.

    Bon, le procédé est un peu plus rigoureux, mais le principe (dû à Meray et Cantor) est là : il s'agit de "compléter" .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

Discussions similaires

  1. multiplication "en masse" sous excel ou open office calc
    Par ThomasR dans le forum Logiciel - Software - Open Source
    Réponses: 4
    Dernier message: 06/12/2007, 18h02
  2. Premières approximations des calculs d' "aire sous la courbe"
    Par Romain-des-Bois dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 26/07/2005, 00h44