"sous-structure de R"

[Seirios]

Bonjour à tous,

En essayant de démontrer que C est un sous-espace vectoriel sur R, je me suis retrouvé confronté au fait que R devait posséder une loi de composition interne +.

C'est bien évidemment le cas, mais afin de le démontrer, il faudrait que l'ensemble R ait une "sous-structure" (je ne pense que l'usage de cette expression soit correctement utilisé ici ).

Par exemple, on a pour les complexes, mais quand est-il des réels ?

Arrivé un certain point, on arrivera de toute façon à des ensembles sans "sous-structure", et on devra utiliser des axiomes. Mais est-ce le cas pour R ?

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
-----

[martini_bird]

Salut,

je ne te comprens pas trop ta question : tu t'interroges sur la définition de l'addition des réels, c'est ça ?

Les opérations (+, ×) sont définies en même tant que R : on peut bien entendu vérifier que ces opérations sont compatibles avec les opérations des sous-structures (rationnels, entiers).

A vrai dire, pour être tout à fait rigoureux, l'addition des réels n'est pas la même opération que l'addition des rationnels par exemple. Mais on ne fait jamais la distinction évidemment. Par comparaison, si tu fais un peu d'informatique, c'est un peu dans l'esprit du polymorphisme pour les surcharges d'opérateurs.

Cordialement.

[Seirios]

Merci martini_bird (tu avais bien saisi le sens de ma question )

Cependant, encore une petite question : Existe-t-il une expression qui définisse les réels, comme l'expression a+ib définie les complexes ?

[invité576543]

Cependant, encore une petite question : Existe-t-il une expression qui définisse les réels, comme l'expression a+ib définie les complexes ?

Tu veux dire à partir des rationnels, ou des entiers, par exemple?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef36aef9d]

au même titre que l'on peux considérer C comme un espace vectoriel de dim 2 sur R, on peut considerer R comme un ev sur Q. sauf que ça ce complique.
d'une part il est de dim infini. dautre part, on sait qu'il possède une base (comme tous les ev, je crois que c'est un corrolaire de l'axiome du choix, sauf erreur) mais on ne sais pas exprimer explicitement cette base. c'est un problème ouvert.

[g_h]

Merci martini_bird (tu avais bien saisi le sens de ma question )

Cependant, encore une petite question : Existe-t-il une expression qui définisse les réels, comme l'expression a+ib définie les complexes ?

Une façon usuelle de définir un réel est comme limite d'une suite de rationnels (conséquence du fait que est dense dans , c'est à dire qu'entre 2 réels il y a toujours, au moins, un rationnel)

preuve, même si on se mord un peu la queue, si x est un réel : (E est la fonction partie entière)

si ça peut répondre un peu à ta question...

[Seirios]

Tu veux dire à partir des rationnels, ou des entiers, par exemple?

Exactement

au même titre que l'on peux considérer C comme un espace vectoriel de dim 2 sur R, on peut considerer R comme un ev sur Q. sauf que ça ce complique.
d'une part il est de dim infini. dautre part, on sait qu'il possède une base (comme tous les ev, je crois que c'est un corrolaire de l'axiome du choix, sauf erreur) mais on ne sais pas exprimer explicitement cette base. c'est un problème ouvert.

Je viens de commencé le chapitre sur les espaces vectoriels, donc je ne comprends pas bien ce que tu viens de dire, mais je garde ton explication au chaud et je la ressortirais une fois que j'aurais un peu avancé dans le chapitre. Et merci pour la réponse

Une façon usuelle de définir un réel est comme limite d'une suite de rationnels (conséquence du fait que est dense dans , c'est à dire qu'entre 2 réels il y a toujours, au moins, un rationnel)

preuve, même si on se mord un peu la queue, si x est un réel : (E est la fonction partie entière)

si ça peut répondre un peu à ta question...

Ça répond un peu à ma question
Mais je n'ai pas trouvé (en cherchant sur le net) d'expression de la fonction partie entière E...

[martini_bird]

Salut,

pour construire les réels à partir des rationnels, l'idée est de constater que est plein de "trous", au sens où des suites de rationnels - comme par exemple

ou - ne convergent pas dans (la première a pour limite , la seconde ).

Ces suites qui convergent "presque" (on dit qu'elles convergent au sens de Cauchy : les termes consécutifs sont de plus en plus proches les uns des autres) admettent donc des limites intéressantes : la construction consiste finalement à définir les nombres réels comme les limites des suites de Cauchy.

Bon, le procédé est un peu plus rigoureux, mais le principe (dû à Meray et Cantor) est là : il s'agit de "compléter" .

Cordialement.