nombres complexes

[invitea53a73c4]

Bomjour tout le monde,

J'aimerai bien que vous m'aidiez à trouver tous les nombres complexes qui sont conjugués avec leur carré

merci
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[GuYem]

Salut,

Tu as essayé de poser z=a+ib, donc z barre = ... et z^2= ... et de résoudre en a et b ?

[g_h]

Salut,

Juste une remarque : je pense que c'est encore plus direct avec la forme exponentielle !

[invite35452583]

Salut,
on peut aussi multiplier par z.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea53a73c4]

Z barre= a-ib Z= a+ib Z2= a2+ib2 + 2*a*ib

Z barre carré = (a-ib)au carré = a2 + ib2 - 2*a*ib

je ne comprends ce que tu veux dire je ne trouve pas le lien

est ce que tu veux que je pose Z2 = Z barre

càd: a-ib = a2 + ib2 + 2*a*ib = a2 -b2 + 2*a*ib

j'attend ta reponse merci d'avance

[ericcc]

Ecris z=r*exp(it), que vaut z², que vaut z barre ?

[GuYem]

Tu as presque fini avec la méthode que j'ai proposé.

Cependant celle de ericcc est en effet bien plus judicieuse !

[invitec053041c]

Oui il est bien plus facile d'employer la forme exponentielle dans ce cas là.

[invitea53a73c4]

oui mais le probléme on n'a pas encore etudier les nbs complexes sous formes exponentiel

merci je vais travailler avec Z= a+ib

[ericcc]

Une fois que l'on a compris que le module est égal à 1, on voit que z² équivaut à une rotation d'angle double de celle de z, et zbarre la rotation en sens inverse. Un petit dessin permet ainsi de retrouver la raison "géométrique" qui sous-tend ce petit exercice.

[GuYem]

Alors si tu n'as pas vu l'exponentielle, il faut rester en a et b.

Prends garde à ne pas zapper la solution nulle ...

[invite35452583]

Un petit :


devient en module :

d'où lzl=0 ou 1
Si lzl=0 alors z=0
Si lzl=1, on a en multipliant par z dont on trouve facilement les 3 solutions.

ça ne vous tente pas alors.

[invitea53a73c4]

excuse moi mais je ne vois pas les 3 solutions
est ce que je pose (a+ib)3 = 1 ??????????

encor un coup SVP

[g_h]

Salut,

Les 3 autres solutions (différentes de 0) sont les 3 racines 3èmes de l'unité... ça ne te dit rien ?

[invitea53a73c4]

désolé mais je ne vois pas aide moi STP

[g_h]

Bon, on va pas y passer 3 jours
Si tu as des questions hésite pas...




Premier cas : on suppose
On a alors :



Second cas : on suppose
On a alors :






Résultat des courses : 4 solutions :


Les 3 dernières sont les 3 racines cubiques de 1.

Voilà, au point ou en était, yavait pas d'autre solution que de te faire les calculs (cf. message #5 et #7) !
J'espère que ça t'aura servi...

[invitea53a73c4]

je te remercie beaucoup j'ai trouvé la même chose un peu prés tu es tres gentil

merci

[invite35452583]

Allez hop on termine,

une racine évidente : 1
z^3-1=(z-1)(z²+z+1) pour ce second polynôme

d'où les deux autres racines :