Enveloppes tangentielles

[inviteb4b89598]

Bonjour, j'ai posé cette question dans le forum Mathématiques du Lycee, et on m'a conseillé de la poster ici, la voici :

Si on considère un ensemble de droites (je ne sais pas si on peut parler ici de famille de droites puisque on aurait un reel en indice), peut-on montrer que cet ensemble est l'enveloppe tangentielle ou restriction, d'une ou plusieurs courbes et déterminer alors cette (ces) courbe(s) ?

Par exemple : Soit le plan R² muni du repere orhonormé (O,i,j), et le cercle (C) de centre O et de rayon 1.
A toutes coordonnées (a,b) on associe une fonction affine :
x -> ax + b.
On considère alors l'ensemble A des fonctions affines telles que a et b soient liés par la relation : a²+b²=1 (le point M(a,b) appartient donc a (C)).
L'ensemble des droites représentatives des fonctions affines de A correspond-il à l'enveloppe tengentielle d'une courbe ? Si oui laquelle ?

Pour l'exemple nous en sommes venus a montrer que si elle existe la courbe a pour equation une fonction solution de y'² + y² + x²y'² - 2xyy' = 1

Pouvez vous m'aider svp ?
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[prgasp77]

Non, nous avons démontré que si une telle courbe existait, elle était solution de cette ed. La nuance est importante, car la fonction x->1 est solution de cete ed, mais n'est pas la courbe recherchée (qui est elle unique). En effet, la fonction générée par le point (0,-1) est x->-1 qui n'est tangente de la courbe y=1 à aucun point.

[prgasp77]

hum ... j'ai mal lu, mille excuses.
Mais cette solution particuliaire ne pourrait-elle pas aider à résoudre cette équa diff ?

[invite35452583]

Bonjour,
la meilleure piste me semble être (malheureusement je ne peux la mener au bout) l'utilisation d'une dualité qui envoie différentiellement point sur droite et droite sur point.
Un exemple d'une telle dualité, la polarité par rapport à un cercle :
un point extérieur est envoyé sur la droite par les deux points d'intersection des deux tangentes issues de ce point avec le cercle ;
un point sur le cercle est envoyé sur sa tangente ;
un point intérieur est envoyé (ce n'est pas immédiat que c'en soit une) sur la droite formé par les points extérieurs dont la droite associée (comme ci-dessus) passe ce point intérieur.
L'ensemble de droite est envoyée sur un ensemble de points dont il est plus aisée de savoir si celle-ci peut être transformée en courbe admettant des tangentes. Si oui, alors l'image réciproque de l'ensemble des tangentes est l'ensemble de points recherché.
Pour les tangentes au cercle il n'y a qu'une courbe (en tant que lieu géométrique).

En espérant que quelqu'un d'autre pourra affiner et préciser ce que je viens d'exposer.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]