Enveloppes tangentielles

[inviteb4b89598]

Si on considère un ensemble de droites (je ne sais pas si on peut parler ici de famille de droites puisque on aurait un reel en indice), peut-on montrer que cet ensemble est l'enveloppe tangentielle ou restriction, d'une ou plusieurs courbes et déterminer alors cette (ces) courbe(s) ?

Par exemple : Soit le plan R² muni du repere orhonormé (O,i,j), et le cercle (C) de centre O et de rayon 1.
A toutes coordonnées (a,b) on associe une fonction affine :
x -> ax + b.
On considère alors l'ensemble A des fonctions affines telles que a et b soient liés par la relation : a²+b²=1 (le point M(a,b) appartient donc a (C)).
L'ensemble des droites représentatives des fonctions affines de A correspond-il à l'enveloppe tengentielle d'une courbe ? Si oui laquelle ?

Je n'ai pas eu le temps de trop creuser, donc si il ya une abération ne soyez pas trop méchants svp.
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[invite7553e94d]

Bonjour et bienvenu.

Il me semble que les droites représentatives des éléments de A ne sont l'enveloppe d'une quelconque courbe ... Mais c'est à vérifier, et je n'ai pas d'idée quant à la méthode.

[invite7553e94d]

J'y ai un peu réflechit.

Soit une fonction de E dans F à déterminer, avec et .
Soit la courbe représentative de dans .
Soit la tangente à au point d'abscisse .

soit


La fonction a pour enveloppe tangentielle les droites représentatives des fonctions affines de l'ensemble A si et seulement si



Ainsi, f est solution de l'équation différentielle
y'² + y² + x²y'² - 2xyy' = 1 soit


Et là, ni ma calculatrice ni mon cerveau ont le niveau pour ça ^^ Je te conseille donc de demander conseil sur le forum Mathématiques du supérieur. Mais il est possible qu'on ne sache pas résoudre une telle équation, ou qu'elle n'est pas de solution.

Bonne chance.

[inviteb4b89598]

C'est aussi ce que j'ai trouvé, et l'équa. diff. ma bien refroidi. Je vais demander ça dans le forum Mathématiques du Supérieur. Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7553e94d]

l'équa. diff. ma bien refroidi.

Tu m'étonnes !