La reflexivité est elle une notion si importante?

[inviteb5c686f6]

Bonjours, je m'initie à la théorie des ensembles et dans la définition de la relation d'ordre je peux voir que la reflexivité et une notion importante qui a mon sens s'adapte mal au exemple concret ou la rend un peu stupide.

Pourquoi tout élément d'un ensemble doit etre mis en relation avec lui meme? où se trouve le concept qui sous tend tout cela???
Lorsque je range des objets je ne met pas en relation l'objet avec lui meme mais toujours avec d'autre.
Je pars du principe que chaques definitions doivent contenir le minimum vitale et j'ai l'impression que je peux me passer de la reflexivité.
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[inviteaf1870ed]

Tu vas avoir du mal à définir une relation d'équivalence si tu n'emploies pas la reflexivité ?

[inviteb5c686f6]

Justement j'aimerais que l'on m'explique conceptuelement pourquoi??? Je sens que pour parler d'equivalence il doit avoir un peu de reflexivité la dedans mais concernant la relation d'ordre, je ne comprends pas trops?

Sa renvoie aussi à l'importance que possede la fonction identité qui par nature ne fais rien mais qui sans son existence mettrait a mal quelque théorie.
Pourquoi s'attacher a des choses comme cela?

Je crois que ces questions tout le monde à été amené à y reflechir un peu.

PS: J'apprend tout seul cette théorie du coups je n'hesite pas a m'arreter dès que cela ne devient pas limpide.

[invite986312212]

à mon humble avis, en débutant il ne faut pas se prendre la tête avec la signifiaction profonde des définitions: il faut les prendre comme des règles du jeu, et puis jouer avec et ça viendra tout seul (ou pas, certaines règles sont un peu arbitraires, par exemple la couleur de la case A1 aux échecs).
pour ce qui est de définir une relation d'ordre sans la réflexivité, la question va se poser de s'il faut imposer une "antiréflexivité", à savoir qu'on n'a jamais x R x (si R est la relation) ou bien laisser cette possibilité pour certains x. Le mieux à faire, quand tu auras un peu de pratique avec la définition standard et ses premières conséquences, c'est d'essayer d'étudier par toi-même les définitions alternatives.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Pour l'équivalence, cela semble assez intuitif : de même qu'un nombre est égal à lui même, un élément d'un ensmble sera équivalent à lui même.
Pour la relation d'ordre cela vient du fait que l'on considère des relations qui vont définir des inégalités au sens large (inférieur ou égal par exemple), et non au sens strict.

[invitefd2653a2]

Pour l'équivalence, cela semble assez intuitif : de même qu'un nombre est égal à lui même, un élément d'un ensmble sera équivalent à lui même.
Pour la relation d'ordre cela vient du fait que l'on considère des relations qui vont définir des inégalités au sens large (inférieur ou égal par exemple), et non au sens strict.

Tout a fait d accord, bien explique

[inviteb5c686f6]

Quand je dis débutant j'ai un niveau ingénieur mais je reprends depuis le début comme ci je n'avais rien fait. Du coups je suis passer à l'étape superieure "du j'apprend sans trops voir a quoi cela peut correspondre".

Oui concernant la notion d'inégalité mais peut ton rangé par exemple des couleurs??? si oui comment dire qu'une couleur est plus grande qu'une autre? Dans ce cas comment définir une relation d'ordre? il n'y aura pas d'inégalité et donc je ne comprends pas la nécessité de la reflexivité.

[invitedf667161]

A partir du moment ou tu mets une relation d'ordre, il y a des inégalités.

Si tu veux ranger des couleurs, tu peux par exemple décomposer tes couleurs sur l'espace RGB (tu connais ?) et prendre l'ordre lexicographique sur cet espace ; tu as ainsi défini des inégalités sens large) entre couleurs.

[inviteb5c686f6]

Oui met j'ai pas l'impression de toucher le concept fondamentale la dedans. Prenons l'exemple des couleurs, je les classes par ordre d'apartenance couleur chaude et couleur froide. J'ai mis de l'ordre et pourtant y a pas d'inégalité.

Je pense que la relation d'ordre dois prendre en compte ce type d'exemple.
Maintenant,il est sûr que si on ramene tout aux nombres alors la notion d'inégalité apparait et tout devient facile mais pour moi les mathématiques n'est pas que la science des nombres mais des structures. Donc Je cherche des structure qui ne font pas intervenir de nombre et ensuite j'y test la théorie des ensembles pour voir les subtilité qui m'ont echapées depuis toute ces années.

[invitec053041c]

Il y a enormement de relations d'ordre et pas toutes intuitives.
Par exemple la relation Ι de divisibilité dans N est une relation d'ordre dont 0 est le plus grand élément et 1 le plus petit élément.

[invite4b9cdbca]

Bonjour !

J'ai mis de l'ordre et pourtant y a pas d'inégalité.

Pourant je dirai qu'en classant tes couleurs tu y as mis une certaine inégalité, totalement arbitraire...
Tu aurais pu par exemple définir une couleur par son code rgb (x,y,z) et dire qu'une couleur est en relation avec une autre selon tel critère (ex : on peut les classer dans l'ordre croissant de 3x+2y+45z, ce qui ne correspond pas à grand chose). Ce critère, choisi par tes soins, est totalement arbitraire. Là réside l'inégalité, que tu as créée.

Tu pourrais aussi ranger les couleurs dans l'ordre où tu les aimes. Ici le concept d'"inégalité" est évidente. Si on te demande quelle couleur tu préfères entre le rouge et le rouge... Tu dis quoi ?

Bien à toi.

[inviteb5c686f6]

Le débat n'est pas sur la relation d'ordre mais sur la reflexivité car oui l'exemple des couleurs donne matiere a debatre mais l'essentiel de ma reflexion porte sur le faite de considerer la reflexivité comme une propriété fondamentale ou non.

Concernant la question de kron elle met en lumiere la bétise de la reflexivité car si "jaime plus que" est une relation d'ordre alors la question de savoir si j'aime le rouge plus que le rouge ne se pose pas.
Donc "j'aime plus que" n'est pas une relation d'ordre???

[invite4b9cdbca]

Mais le problème est que la réflexivité est partie intégrante de la définition d'une relation d'ordre.
Elle permet en effet de comparer deux éléments qui finalement sont égaux.
C'est un peu glissant (très) mais en quelque sorte, la notion de réfléxivité permet d'inclure l'équivalence dans le "classement", ce qui ne serait pas possible avec une relation stricte et non réflexive.
Sans la réfléxivité, on se retrouve avec un autre type de relation.

[inviteb5c686f6]

La réfléxivité à été intégré dans la définition de la relation d'ordre, elle ne met pas en relation deux objets egaux mais un objet avec lui meme????
Comparer deux objets qui finalement sont egaux ça se rapproche de la 2eme propriété a savoir l'anti-symetrie.

Les matheux qui font leurs demonstration, pourquoi dire dabord que l'objet en question peut etre mis en relation avec lui meme avant de le faire avec un autre puis enfin l'autre d'un autre.
On passe de 1, puis 2 (anti-symetrie) et enfin 3 transitivité.
Les deux derniers je comprends mais le premier est il fondamentale j'ai l'impression que l'on peut sans débarasser.

[invite4b9cdbca]

Comparer deux objets qui finalement sont egaux ça se rapproche de la 2eme propriété a savoir l'anti-symetrie.

Mais sans la réfléxivité, tu ne peux pas montrer que x=x

[invite986312212]

Oui met j'ai pas l'impression de toucher le concept fondamentale la dedans. Prenons l'exemple des couleurs, je les classes par ordre d'apartenance couleur chaude et couleur froide.

je crois que tu ne peux pas essayer de comprendre un concept mathématique en prenant un exemple si éloigné des maths. Mon conseil: restes-en aux ensembles de nombres, ou à certains ensembles de parties d'un ensemble donné, il y a déjà pas mal de relations de tous types à explorer.

J'ai mis de l'ordre (...)

... au Karcher? tu joues sur les mots là.

[invite986312212]

cela dit, on pourrait définir une relation "d'ordre strict" qui serait anti-réflexive, anti-symétrique et transitive, pourquoi pas? Est-ce le sens de ta question?

[inviteb5c686f6]

Lol non je pense pas a sarko a en faisant des math...

Si je prends que des exemples avec des nombres je penses que la notion de divisibilité et claire car x divisera toujours x donc c'est logique. Mais au dela des nombre et des ensembles ça devient pas simple.

Merci pour vos réponses en tout cas.

[invite10a6d253]

A première vue, on peut croire que la reflexivité est une conséquence d'autres propriétés et peut donc être ignorée. Ainsi toute relation transitive et symétrique semble automatiquement réflexive en écrivant
xRy donc (symétrie) yRx donc (transitivité) xRx.
Malheureusement, cette suite logique n'est valable que si on peut établir dès le départ qu'il existe bien un y tel que xRy soit vrai.

Voici un exemple tout simple de relation symétrique et transitive mais pas réflexive :

pour x,y dans N

xRy si xy différent de 0

Donc la réflexivité doit être postulée.