Qu'est ce qu'une matrice ?

invite118bd558 · 04/08/2004, 20h45

Bonjour à tous,

Je reviens après quelques petits problèmes avec les modérateurs à qui je tiens à m'excuser ici. Encore désolé

.

Bon sinon je voulais savoir ce qu'était une "matrice" ...

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

Bien à vous

@lexandre

inviteca3a9be7 · 04/08/2004, 21h14

Tiens en cherchant des trucs de programmation j'étais tombé là-dessus qui devrait satisfaire un peu ta curiosité :

http://membres.lycos.fr/javamus/articles/mqfaq.html

invite118bd558 · 04/08/2004, 21h27

Ah d'accord ....

Merci beaucoup

@+

inviteab2b41c6 · 04/08/2004, 22h02

Bonsoir,
une matrice, c'est tout simplement un tableau.

Usuellement, je dis bien usuellement, on utilise les matrices en maths, en algèbre linéaire, ainsi, lorsque l'on muni l'ensemble des matrices d'une multiplication un peu particulière, on a que toute application linéaire (dans des espaces un peu particuliers qu'on appelle de dimension finie) peut se mettre sous la forme
f(X)=AX

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite51f4efbf · 04/08/2004, 22h33

Une matrice de taille (n,m) c'est juste un élément de $\text{[math]}$ . On peut multiplier des matrices de taille (n,m) et (m,p) pour trouver une matrice de taille (n,p), mais c'est un produit tordu, qui est plus simple à appréhender si on représente la matrice sous la forme d'un tableau de nombre, ce qui est sa représentation usuelle : les n première coordonnées dans une colonne, les n suivantes dans une deuxième, et ainsi de suite m fois.

Amicalement,
Stephen

invite3d9f8ee1 · 05/08/2004, 10h45

Envoyé par Quinto

Bonsoir,
une matrice, c'est tout simplement un tableau.

j'ai toujours cru que c'était un vecteur à plusieurs dimensions

oops

inviteb0df2270 · 05/08/2004, 14h06

un vecteur dans un espace à n dimensions peut être représenté par une matrice de taille (n,1)
C'est ce que tu fais lorsque tu mets les coordonnées de ton vecteur en colonne, c'est en fait une matrice.
Mais une matrice n'est pas forcément un vecteur

inviteab2b41c6 · 05/08/2004, 14h17

Bein une matrice, c'est bien un vecteur puisque l'ensemble des matrices sur un corps k forme un k-espace vectoriel.

Celà étant on peut étendre la notion de matrice à "peu tout ce qu'on veut" mais bon.

invite51f4efbf · 05/08/2004, 17h13

Envoyé par Theyggdrazil

un vecteur dans un espace à n dimensions peut être représenté par une matrice de taille (n,1)
C'est ce que tu fais lorsque tu mets les coordonnées de ton vecteur en colonne, c'est en fait une matrice.
Mais une matrice n'est pas forcément un vecteur

En fait, si. D'une part parce qu'il y a une structure naturelle d'espace ve ctoriel, mais surtout parce qu'en mettant les colonnes les unes à la suite des autres tu obtiens $\text{[math]}$ . Cet isomorphisme - c'est l'identité - est beaucoup plus fort que l'appellation tableau de nombre, car il permet alors au groupe des matrices de bénéficier de plein de structures supplémentaires. Entre autres, sous-espace topologique (et même métrique) de $\text{[math]}$ , pareil pour la structure de variété, etc...

On peut bien sûr étendre à un corps quelconque, mais on a moins de propriétés.

inviteb0df2270 · 05/08/2004, 21h01

Envoyé par Quinto

Bein une matrice, c'est bien un vecteur puisque l'ensemble des matrices sur un corps k forme un k-espace vectoriel.

Celà étant on peut étendre la notion de matrice à "peu tout ce qu'on veut" mais bon.

Oui mais là on joue sur le vocabulaire o_O

En fait une matrice de taille (n,p) est un... vecteur de vecteurs, au lieu d'un vecteur de scalaires, c'est ça?
Sinon, merci de me préciser cela stephen, car apparemment je n'ai pas encore le niveau pour me permettre de répondre à certaines questions

Merci pour les infos

Cordialement,
Yggdrazil

inviteab2b41c6 · 05/08/2004, 21h20

Ca ne veut rien dire vecteur de vecteur ou de scalaire.
C'est un vecteur, au même titre que les autres, et il n'y a pas de jeux de mots.

Nombre d'objets sont des vecteurs.

Les fonctions par exemple...

inviteb0df2270 · 05/08/2004, 21h57

C'est vrai désolé, c'est moi qui ai joué sur le vocabulaire en fait ^^

Au temps pour moi

invite00411460 · 05/08/2004, 22h13

ouais et on peut aussi dire que c'est un tenseur... mais ça va pas l'aider, le pauvre ami qui sait pas ce que c'est une matrice.

invitec0d8ec48 · 05/08/2004, 22h39

La notion de matrice a été expliquée simplement là, c'est bien pour lui

Par contre ça me rappelle avec douleurs mes cours de prépa....

invite3bc71fae · 06/08/2004, 00h22

Envoyé par Stephen

Une matrice de taille (n,m) c'est juste un élément de $\text{[math]}$ .

Je ne suis pas tout à fait d'accord.
Il ne faut pas confondre les objets mathématiques et leurs représentations.
Une matrice (n,m) est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes indépendemment de ce qu'il peut représenter.
On peut ainsi parler de matrice avant même de définir quelque structure que ce soit ou simplement pour présenter des résultats.

Dire qu'il est pratique de représenter les éléments de $\text{[math]}$ muni des lois que nous connaissons par une matrice, soit.

Maintenant dire qu'une matrice(m,n) c'est un élément de $\text{[math]}$ , c'est un peu comme dire qu'une juxtaposition de chiffres décimaux est un nombre.

invite51f4efbf · 06/08/2004, 11h13

Salut

Envoyé par doryphore

Une matrice (n,m) est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes indépendemment de ce qu'il peut représenter.
On peut ainsi parler de matrice avant même de définir quelque structure que ce soit ou simplement pour présenter des résultats.

En fait, je comprends ta remarque, mais tu te trompes. D'une part à ce stade je n'ai pas mis de structure sur $\text{[math]}$ autre que la structure ensembliste. Je n'ai pas parlé de vecteurs ou de quoi que ce soit.

Ensuite, un tableau de nombres n'est pas une définition mathématique, mais bien une représentation. Quand je dis élément de $\text{[math]}$ , je ne dis pas $\text{[math]}$ , ce qui est une représentation, mais je fais appel à une propriété universelle, celle du produit cartésien dans la catégorie des ensembles munis des applications. Celle-ci permet de définir le produit cartésien de manière formelle, sans parler de tuples :

Etant donné une collection $\text{[math]}$ d'ensembles, il existe un unique ensemble A et une unique collection d'applications $\text{[math]}$ tels que pour tout ensemble B et pour toute collection d'applications $\text{[math]}$ , il existe une unique application $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ .

Ce théorème, qu'il est possible de démontrer, définit correctement le produit cartésien. L'unicité est à prendre au sens d'unique à bijection ensembliste près.

invite3bc71fae · 06/08/2004, 13h51

N'ayant jamais abordé la théorie des catégories, je ne pouvais semble-t-il pas voir raisonnablement les matrices comme des objets mathématiques.

Pour que je profite au mieux de la proposition que tu cites pour définir proprement le produit cartésien, est-ce que tu pourrais si possible m'expliquer dans le cas qui nous intéresse à quoi correspondent les divers ensembles et applications qui y figurent.

Merci d'avance.

invite51f4efbf · 06/08/2004, 14h08

Envoyé par doryphore

Pour que je profite au mieux de la proposition que tu cites pour définir proprement le produit cartésien, est-ce que tu pourrais si possible m'expliquer dans le cas qui nous intéresse à quoi correspondent les divers ensembles et applications qui y figurent.

Je voulais le faire, mais j'ai oublié : avec le théorème d'existence et d'unicité que j'ai énoncé, l'ensemble A se note $\text{[math]}$ et nomme produit cartésien, et les applications $\text{[math]}$ se nomment les projections.

Il existe beaucoup de contructions qui se définissent en termes d'une propriété universelle (par exemple le coproduit, qui est la réunion disjointe quand on parle d'ensembles, ou encore le produit tensoriel, etc...).

invitee136c188 · 16/02/2009, 00h06

Envoyé par Stephen

Je voulais le faire, mais j'ai oublié : avec le théorème d'existence et d'unicité que j'ai énoncé, l'ensemble A se note $\text{[math]}$ et nomme produit cartésien, et les applications $\text{[math]}$ se nomment les projections.

Il existe beaucoup de contructions qui se définissent en termes d'une propriété universelle (par exemple le coproduit, qui est la réunion disjointe quand on parle d'ensembles, ou encore le produit tensoriel, etc...).

Bien entendu tu supposes fini l'ensemble d'indexation de la famille A_i
pour I dénombrable c'est l'axiome du choix qui postule l'existence de ce produit cartésien.
Je suis tout à fait d'accord avec toi pour la définition d'une matrice
c'est strictement une application de {1,...,n}x{1,...,m} à valeurs dans un corps K ou même plus généralement dans un anneau principal A. Avec la commodité calculatoire de représenter l'action d'un morphisme vectoriel
Soient M et N deux matrices dans Mp;q(A).
Les matrices M et N sont dites équivalentes s'il existe deux
matrices inversibles, P dans GLp(A) et Q dans GLq(A), telles
que :
M = PNQ:
Remarques :
I \être équivalentes" est une relation d'équivalence sur
Mp;q(A).
I Les matrices M et N dans Mp;q(A) sont équivalentes si et
seulement si elles représentent un même A-morphisme de
A^p dans A^q sur des bases éventuellement différentes.

Qu'est ce qu'une matrice ?

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