Surface minimale d'un cylindre

[invited741ff8c]

Bonjour à tous,

C'est la première question de l'épreuve de physique du concours de l'X de l'année dernière en MP, mais c'est vraiment une question de maths alors je la pose ici.

On a un cylindre de rayon R, de hauteur H, de masse volumique homogène .
A volume fixé, on cherche les valeurs de R et H telles que la surface du cylindre soit minimale.

Je n'avais pas trouvé cette question ; un an plus tard, je rééssaye pour le fun ( ) mais la solution, je la trouve à l'aide des multiplicateurs de Lagrange qui ne sont pas au programme de deuxième année si je me souviens bien.

Alors j'aimerais savoir quelle est l'autre méthode. Votre aide est la bienvenue.

Merci,
Jada
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[invite88ef51f0]

Salut,
Il suffit d'exprimer le volume en fonction de R et H. Puis tu exprimes la surface en fonction de Ret H, tu utilises la première relation pour exprimer la surface en fonction de R et du volume. Seul R peut varier, donc la surface est extrémale lorsque dS/dR s'annule. Tu obtiens donc une relation entre R et V, et donc entre R et H.
Bref, juste du moulinage de calcul, rien de fondamentalement complexe (un lycéen courageux pourrait y arriver).

[invitedef78796]

Salut,

La seule "astuce" de la question, c'est de ne pas oublier pour le calcul de la surface du cylindre les deux surfaces inférieures et supérieures (le dessous et le dessus) du cylindre.

Cela peut paraître élémentaire, mais quand on est plongé dans l'épreuve on peut vite l'oublier et je parle d'expérience...

Cordialement

[invited741ff8c]

On a eu la même expérience alors.
C'est trop bête, en plus, je n'ai pas fait cette erreur pour la méthode des multiplicateurs, il y a de quoi avoir honte
Merci beaucoup

Salut,

La seule "astuce" de la question, c'est de ne pas oublier pour le calcul de la surface du cylindre les deux surfaces inférieures et supérieures (le dessous et le dessus) du cylindre.

Cela peut paraître élémentaire, mais quand on est plongé dans l'épreuve on peut vite l'oublier et je parle d'expérience...

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited72cba9f]

Bonjour,
Je suis lycéenne à vrai dire je n'arrive pas à trouver pour quelle valeur de R l'air du cylindre sera minimale..!
Si j'ai bien compris :
V=hπR²
soit h=V/πR²
d'où A=2πR²+2V/R
Ensuite je dois calculer A'(dérivée de A) mais je ne vois pas où cela me mène. (sachant que je ne sait pas résoudre des équation du 3ème degré)

Merci d'avance

[Flyingsquirrel]

Bonjour,

Avec on a . La dérivée s'annulera pour . On connait les racines n-ieme en terminale, non ?

[invite8a878eff]

quand on a l'expression de R³ en fonction du reste, remplacé V par sa forme avec R et H.
Puis en supposant que R est different de 0 (allé c'est bon on est en physique), on peut simplifier par R² et on a une expression propre de R en fonction de H

[jacknicklaus]

Bonjour Vibix

Tu déterres un topic vieux de 10 ans.

Mais bienvenue quand même.