Bilan thermique d'un cylindre

[Gpadide]

Bonjour,

on considere un cylindre de conductivité thermique , de rayon r1, dégageant une puissance volumique Pv.

On me demande l'equation différentielle vérifiée par T(r).

Pour ce faire je fais un bilan thermique a une pellicule cylindrique {r, r + dr } pour obtenir une equadiff vérifiée par rj(r), puis en developpant je trouve une equadiff du second ordre vérifiée par T...

Dans mon bouquin, ils font directement un bilan du cylindre tout entier. Puis ils trouvent directement une expression de dT/dr en fonction de r. Comment se fait-ce ? Pourquoi ce que je fais ne donne pas la meme chose ?
-----

[Gpadide]

Ca n'inspire personne ?

[The Artist]

Salut, une petite idée jete un oeil sur ce site http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...ro/11intro.htm
L'idée serait de faire le bilan thermique sur un petit élément en coordonnées cylindriques et intégrer sur tout le cylindre.

[Gpadide]

C'est justement ce que j'ai dit avoir fait. Cf mon premier post

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gpadide]

Ca ne gene personne qu'on trouve une équation d'ordre 1, puis d'ordre 2 pour décrire le meme phénomene ?

[yahou]

Le cynlindre est infini ?

Si tu suis la procédure standard, tu tombe sur une ED sur T du 1er ordre en temps et 2ème ordre en espace, avec un terme source, du style :
.
En exprimant le laplacien en coordonnées cylindrique, on doit tomber sur l'équation que tu obtiens.

Cependant, si on cherche la solution stationnaire, on peut gagner du temps en écrivant directement une équation sur le flux . Pour cela on fait un bilan sur un cylindre de rayon r et de longueur L :
La puissance dégagée à l'intérieur est .
La puissance échangée avec l'extérieur est (il n'y a pas d'échange de chaleur dans l'axe du cylindre à cause de l'invariance par translation, et est la composante du flux de chaleur suivant r).
Il n'y a plus qu'à égaler les deux.

Au final on a gagné un ordre en faisant le bilan sur un système fini (au lieu de ton système infinitésimal entre r et r+dr). Ca revient à intégrer ton équation avec la condition limite .

[obi76]

Si la vitesse de conduction thermique dans le cylindre est grande face à son rayon, tu peux considérer sa température comme constante sur son rayon. Cela simplifie considérablement tes calculs.