Nombres premiers et coefficients binomiaux

[Gpadide]

Bonjour, je sais que c'est bete comme question mais pourriez vous m'expliquer comment montre - t - on que le coefficient binomial (p,k) est divisible par p pour p premier ?
Merci d'avance.
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[Jeanpaul]

Ce nombre vaut le produit p*(p-1)*(p-2)*...*(p-k+1) le tout divisé par k!
Comme p est premier, on est sûr que k! ne contient aucun diviseur de p, donc pas de simplification possible, donc le quotient est divisible par p.

[GuYem]

Bien dit Jean-Paul, ce résultat a toujours été un peu mystérieux pour moi et là, il s'éclaire !

[Gpadide]

Ce nombre vaut le produit p*(p-1)*(p-2)*...*(p-k+1) le tout divisé par k!
Comme p est premier, on est sûr que k! ne contient aucun diviseur de p, donc pas de simplification possible, donc le quotient est divisible par p.

Si je comprends bien tu appliques le théoreme de Gauss ? Ca veut dire que le coefficient est entier ? Si c'est bien le cas, comment le montrer ? Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Quoi qu'on fasse en maths, il y a toujours un théorème de Gauss pour le résoudre. Ce type a fait tant de choses !
Autrement pour démontrer que (n,k) est entier, ça se fait bien par récurrence à partir de (n-1,k-1) + (n-1,k)
Le démontrer à partir de la formule, c'est moins trivial déjà.

[edpiste]

la définition combinatoire (nombre de choix de k éléments parmi n) n'implique-t-elle pas de facto que le coefficient est entier ?

[Jeanpaul]

la définition combinatoire (nombre de choix de k éléments parmi n) n'implique-t-elle pas de facto que le coefficient est entier ?

Si bien-sûr, mais c'était pour le fun de le montrer à partir de la formule.