Continuité en zero d'une fonction de 2 variables.

[Gpadide]

Bonjour, on me demande de montrer que la fonction :
f(x,y)= x²y²/(x²+y²) si (x,y) different de (0,0) et f(0,0) est continue et différentiable sur R².

Pour cela j'applique le théoreme fondamental : si f admet des dérivées partielles continues partout alors f est C^1.

Le probleme se pose en zero: comment y montrer la continuité ? Je manque de methode efficace...
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[invite4b9cdbca]

On pourrait utiliser deux théorèmes :

->Si f est C¹ en un point a intérieur à ton domaine, alors f est différentiable en a. (théorème admis en PSI)
->f différentiable en a implique f continue en a.

[Gpadide]

Mais pour montrer la différentiabilité en 0 ? Si c'est la methode que j'essaie les calculs sont inextricables...

[invite4b9cdbca]

Tu as montré que f était de classe 1 en 0, non ?
Cela implique directement que f est différentiable en 0 et par conséquent continue.
(Ceci est un théorème, dans le cadre de mon programme il est admis, mais je pense que la démo doit être accessible dans les bouquins)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gpadide]

Oui je le connais ce théoreme, mais je n'ai pas réussi a montrer que la fonction etait de classe C^1 en zero !