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Equations transcendantes



  1. #1
    G.Scott

    Equations transcendantes


    ------

    Bonjour ; comment résout on xlnx=a avec x dans R+* et a dans R.
    On m'a dit que c'était des équations dites transcandantes, irresolubles mais j'aimerais en savoir un peu plus.
    Comme x appartient à R+* inclus dans R, et que tout nombre réel peut etre approché par une limite de suite de nombres rationnels alors quelle suite converge vers la solution de xlnx = a (qui existe) ???
    Merci de m'éclairer.

    -----

  2. #2
    Gwyddon

    Re : Equations transcandantes

    Salut,

    Avec des méthodes type Euler, Newton, dichotomie, etc... Tu peux approcher numériquement ta solution.

    Dit autrement, tu construis une suite de rationnels, qui converge vers le réel recherché, et dans ton calcul tu t'arrêtes dès que tu atteins la précision désirée

    Ça te fait donc diverses manières de construire une suite qui marche
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #3
    G.Scott

    Re : Equations transcandantes

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Avec des méthodes type Euler, Newton, dichotomie, etc...
    Que sont ces méthodes ?
    Par exemple comment résout on : xlnx=1 dans R+* ?

  4. #4
    Gwyddon

    Re : Equations transcandantes

    Salut,

    f(x) = x*ln(x) -1 est croissante dès que x>1, et le zéro de f se trouve dans l'intervalle comme le montre facilement une petite étude de fonction.


    A partir de là, tu peux utiliser la dichotomie : tu identifies une borne supérieure au réel recherché (par exemple ici f(3) >0 donc si on note b le réel tel que f(b)=0, tu es sûr que 1<b<3 puisque f est croissante).

    Ensuite, tu coupe ton intervalle en 2, et tu regardes le signe de f(1)f(c) où c est le milieu de [1;3].

    _ Si f(1)f(c)=0, tu es chanceux : c est pile le réel recherché (bon ne rêve pas : c'est très rare que ça arrive, et ici aucune chance car la solution est transcendante)

    _ Si f(1)f(c) <0 : f(c) et f(1) n'ont pas le même signe, donc b appartient à [1;c] : tu réitère le processus sur l'intervalle [1;c]

    _ Si f(1)f(c) > 0 : b appartient alors à [c;3] et donc tu réitères le processus sur l'intervalle [c;3]


    Tu peux ainsi approximer aussi près que tu le souhaites ta solution. La vitesse de convergence est en 0(n2) il me semble.


    Après il existe d'autres méthodes plus rapide, afin de converger plus vite et donc d'avoir une meilleure approximation plus rapidement. La méthode de Newton en est l'une d'elle, et repose sur l'approximation locale par la tangente.

    Je ne vais pas recommencer la description détaillée sinon tu vas craquer, le message commence déjà à être assez long

    Je te suggère de faire une recherche sur internet, ou de regarder dans un bouquin de maths de TS
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    kNz

    Re : Equations transcandantes

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Je te suggère de faire une recherche sur internet, ou de regarder dans un bouquin de maths de TS
    Ca m'étonnerait qu'il trouve son bonheur dans un bouquin de TS, cherche plutôt du côté du supérieur.

    Tu peux toujours commencer par http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton

  7. #6
    Gwyddon

    Re : Equations transcandantes

    Ah bon ? J'ai vu la méthode de Newton en TS, alors je pensais que c'était encore d'actualité
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  8. #7
    ab_belkacem

    Re : Equations transcandantes

    Citation Envoyé par G.Scott Voir le message
    Que sont ces méthodes ?
    Par exemple comment résout on : xlnx=1 dans R+* ?
    Salut,
    il existe différentes méthodes numériques pour trouver le zéro d'une fonction. D'abord vous faites une petite transformation pour obtenir la forme :f(x)=0, ensuite vous appliquez une des méthodes exemple: substitution successives, regula-falsi, newton, ...
    ces différentes méthodes son basées sur un traitement itératif. Pour pouvoir les appliquer aisément, il faut commencer par apprendre un langage de programmation. je vous conseille Matlab.

  9. #8
    G.Scott

    Re : Equations transcandantes

    D'accord, merci. Une autre question au passage ; quelle est la différence entre une équation fonctionelle et différentielle ?

  10. #9
    Gwyddon

    Re : Equations transcandantes

    Salut,

    Une équation différentielle fait apparaître au moins la dérivée première de la fonction cherchée dans l'équation la définissant, ce que ne fait pas une équation fonctionelle.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #10
    G.Scott

    Re : Equations transcandantes

    OK, mais pour en revenir à l'approximation de la solution de xlnx=a ; vous me donnez des methodes qui utilisent soit approximation déja connue de ln (comme pour la dichotomie ; en effet : pour connaitre le signe de f(1)f(c) on suppose déja une approximation de ln) ou pour le cas de Newton, Euler on n'utilise pas de suite de nombres rationnels.
    Alors je réitere ma question : peut on construire une suite de nombres rationnels convergente vers la solution de xlnx=a ?

  12. #11
    Gwyddon

    Re : Equations transcendantes

    Hem... Tu sais lire ce que l'on écrit ? Relis attentivement les divers messages...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #12
    G.Scott

    Re : Equations transcendantes

    Eh bien ... les approximations d'Euler, Newton, la dichotomie, Regula-Falsi n'utilisent pas de suites de nombres rationnels, je me trompe ?

  14. #13
    Gwyddon

    Re : Equations transcendantes

    Tu te trompes.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  15. #14
    G.Scott

    Re : Equations transcendantes

    Lol, bon je vais revoir ça de plus près demain. Merci a tous.
    Dernière modification par Gwyddon ; 01/03/2007 à 22h56. Motif: on écrit "ça"...

  16. #15
    G.Scott

    Re : Equations transcendantes

    Ok je viens de comprendre grace aux suites de Héron. Merci encore !!

  17. #16
    G.Scott

    Re : Equations transcendantes

    Utilisation de la méthode de Newton :
    Soit f la fonction définie sur R+* par f(x) = xlnx - a, avec a dans R+*. f est dérivable sur R+* et pour tout x de R+* on a : f'(x) = lnx + 1.
    On pose (Xn) définie par récurrence sur N par :
    et (solution approchée).







    Bon alors cette suite d'apres Newton converge vers la solution de f(x)=0 soit xlnx =
    Mais ça c'est pas une suite de nombres rationnels, est-ce que je me trompe ?

  18. #17
    G.Scott

    Re : Equations transcendantes

    Bon je me suis mélangé les pinceaux, le est le a du début, et pour l'exemple avec . Donc est une solution approchée.

  19. #18
    G.Scott

    Re : Equations transcendantes

    Me suis-je trompé ?

  20. #19
    Ledescat

    Re : Equations transcendantes

    la méthode de Newton c'est la méthode des tangentes?
    Cogito ergo sum.

  21. #20
    GuYem

    Re : Equations transcendantes

    Il me semble que oui
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  22. #21
    ericcc

    Re : Equations transcendantes

    En fait l'équation se résout directement au moyen de la Fonction de Lambert (http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html)

    Posons x=exp(W(a)), soit W(a)=ln(x)
    On sait que W(a)exp(W(a))=a.
    Donc xln(x)=a

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