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Somme double



  1. #1
    Gpadide

    Somme double


    ------

    Bonjour, dans mon bouquin ils expliquent comment trouver la somme double suivante mais je ne comprends rien. Pouvez vous m'aider pour les étapes a suivre ? Le but est d'intervertir les sommations mais je ne trouve pas la meme chose qu'eux .

    Soit une suite positive telle que la série converge

    Montrer que la série de terme général:



    converge et trouver sa somme...

    -----

  2. #2
    Bobby
    Invité

    Re : Somme double

    Salut,
    je ne suis pas allé au bout de mon raisonnement mais je pense que tu peux en tirer la somme en écrivant


    Tu devrais obtenir une somme télescopique, bonne chance.

  3. #3
    Ledescat

    Re : Somme double

    La question doit plutôt être de montrer que cette somme infinie a un sens, car posé comme ça,on postule que c'est vrai et ça rend curieux. Je pense aussi qu'il faut et il suffit de décomposer ta fraction en éléments simples.
    Cogito ergo sum.

  4. #4
    Gpadide

    Re : Somme double

    LA somme infinie a un sens car elle est majorée par la série alpha_n qui converge par hypothese. Le but de ma question etait plutot de mettre en oeuvre l'interversion des sommation...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Taar

    Re : Somme double

    Salut !

    Qu'est-ce que tu sais sur les sommes doubles ?

    En particulier, connais-tu le théorème d'interversion (qui dit que s'il existe un majorant commun à toutes les sommes alors la série de terme général et la série de terme général convergent et elles ont même somme) ?

  7. #6
    Gpadide

    Re : Somme double

    Oui je connais le théoreme d'interversion des sommes : si la famille est sommable alors on peut sommer dans n'importe quel "sens". Mais ici je n'arrive pas a transformer l'ensemble de sommation : c'est un triangle mais quand je le "retourne" je ne trouve pas le bon résultat (normalement somme des alpha_n sur 2)

  8. #7
    Taar

    Re : Somme double

    Dans ce cas, pose pour et :
    si , et sinon.

    Alors

    s'écrit

    Et s'écrit

    Or,

  9. #8
    Gpadide

    Re : Somme double

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Dans ce cas, pose pour et :
    si , et sinon.

    Alors

    s'écrit

    Et s'écrit

    Or,
    Je comprends pas pkoi on pose que la famille est nulle a cet endroit ?

  10. #9
    Taar

    Re : Somme double

    Avec cette astuce, la somme initiale (sur un triangle) devient une somme sur , facile à intervertir.

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