Nature et paramètres d'endomorphisme

[invitea76c2cfb]

Bonjour,
Dans un exercice (dans le cadre du cours "espaces préhilbertiens") je dois indiquer la nature et les paramètres caractérisant des endomorphismes donnés sous forme matricielle. Pour la plupart aucun problème rotation, symétries orthogonales planes etc...

Toutefois j'ai un souci pour cette matrice(cf pièce jointe)
Il ne s'agit pas d'une matrice orthogonale et je ne vois pas trop ce que l'on me demande de faire ici.
J'ai commencé à faire cela :
J'ai calculé le polynôme caractéristique à savoir X(X-1)²
Comme A est symétrique, A est diagonalisable avec donc dim(Ker(A))=1 et dim(Ker(A-I))=2.
ET j'ai Ker(A)=Vect(1;1;1) ; Ker(A-I)=Vect((1;-1;0);(1;0;-1))

Est-ce que cela me conduit à répondre à la question posée dans l'exercice?
Merci d'avance
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[invite88ef51f0]

Salut,
Dans un plan, c'est l'identité, et le long d'une droite ça annule. Ca ne te rappelle rien ?

[invitea76c2cfb]

euh... ça semble très bête mais je ne vois pas trop, une rotation d'axe la droite définie, d'angle 2Pi dans le plan défini?

[invite88ef51f0]

On va voir ça autrement... Prend un vecteur V quelconque. Tu peux le décomposer en une composante dans le plan et une composante le long de la droite. La composante dans le plan n'est pas changée (car par définition du plan, tu as AV=V). La composante le long de la droite est annulée (AV=0).
Donc, à partir d'un vecteur V quelconque, tu lui associes la composante dans le plan.

Comment ça s'appelle ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea76c2cfb]

Ah je suis à côté de mes pompes mdr.
C'est la projection orthogonale de V sur le plan!
Merci bien.

[invite88ef51f0]

Et effectivement, elle est orthogonale dans le cas présent.

C'est vraiment une démarche à retenir pour identifier une transformation : identifier les invariants (Ker(A-I)) et regarder comment se comporte les autres composantes.

[inviteaf1870ed]

On voit bien que A²=A, ce qui caractérise les projections.