Sommation de séries divergentes

[Bloud]

Bonjour à tous!

J'aimerai avoir des explications et/ou des documents sur la sommation des séries divergentes, notamment en lien avec la fonction zêta de Riemann. Pour être un peu plus précis, mes connaissances actuelles ne permettent pas de savoir pourquoi cette fonction s'annule en par exemple (qui est un zéro trivial paraît-il ).
Mon but est d'avoir suffisamment de recul pour faire un exposé de vulgarisation rapide (10 à 20 minutes) compréhensible par des L2 (ça c'est le but scolaire ; après tous(tes) les documents(explications) sont les bienvenu(e)s : j'aime les maths ).

Merci d'avance pour vos réponses.
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[martini_bird]

Salut,

la série qui définit la fonction n'est en effet valable que sur le demi plan . Mais, et c'est là une des grandes avancées de Riemann, la fonction satisfait à une équation fonctionnelle qui relie à (voir par exemple ici). C'est par cette relation que l'on peut calculer la valeur de la fonction sur le plan en entier (enfin sauf au pôle z=1).

Cordialement.

[Bloud]

Merci!
J'ai une question alors ; peut-on écrire



pour tout p entier naturel non nul ?

Ou y a-t-il des conditions à préciser ?

[martini_bird]

Salut,

non, cette écriture n'a pas de sens (bien qu'on puisse retrouver des formules similaires écrites par Euler ou Ramanujan, mais eux ont des circonstances atténuantes ).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

j'avait cru comprendre qu'il existait une "théorie" utilisait par la physique théorique qui permettait d'ecrire ce genre de chose. enfin tous cas il me semble bien que dans certain probleme de la physique moderne on ne se prive pas de sommer des series divergente non ?

enfin pour le coup, j'ai vraiment pas l'ombre d'une référence à citer et jammais rien rencontré de ce genre concretement... mis a part quelque allusion de mes prof de math et de physique.

[martini_bird]

Merci de respecter les thématiques des rubriques : ici on est en maths !

Sinon le problème ici est que la série des diverge vraiment vers quand n croît (et s>0), donc du point de vue topologique ce serait une aberration d'écrire que sa limite est finie.

Dans d'autres cas c'est plus délicat, notamment pour les développements asymptotiques. Voir par exemple celui de la fonction digamma : la formule 8 donne une série divergente qui fournit pourtant de très bonnes approximations.

Cordialement.

[Bloud]

J'ai une autre question : si la somme que j'écris n'a aucun sens et que zêta s'annule effectivement en -2, cela veut-il dire qu'elle a une autre expression (connue ou inconnue) plus générale car valable sur tous les complexes différents de 1 (la formule de sommation n'étant valable que sur le demi-plan Re(z)>1) ?
(un peu comme avec gamma qui généralise la fonction factorielle).

[martini_bird]

Salut,

oui tout à fait, il existe des expressions de valables sur des domaines plus grands que le demi-plan (sur C en entier, je ne sais pas mais c'est fort probable).

(un peu comme avec gamma qui généralise la fonction factorielle)

C'est un peu le même principe en effet.

Cordialement.

[ericcc]

Voir ce lien, je pense que la formule 19 répond à votre question :

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html