Mystérieuse inégalité

[invitec9f8146d]

Bonjour a tous;
Enoncé:
Soient x, y et z des réels.
Montrer que:
min((x-y)²,(x-z)²,(y-z)²)<=(a²+b²+c²)/2
-----

[martini_bird]

Salut,

c'est quoi a, b, et c ?

Cordialement.

[prgasp77]

je pense que l'inégalité est

[invitec9f8146d]

oui c sa , je m execuse

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Et qu'as-tu déjà obtenu? Où bloques-tu exactement?

Cordialement,

[invitec9f8146d]

au lieu de 1/2 j ai trouvé 4/3 càd
min((x-y)²,(x-z)²,(y-z)²)<=4*(a²+b²+c²)/3 ce qui est plus grand que 1/2

[invité576543]

Comment?

Et à quelles autres pistes as-tu pensé?

Cordialement,

[invitec9f8146d]

en posant par exemple min = (x-y)²
g essayé de partir de
(x²+y²+z²)/(x-y)²>=x²/(y-z)²+y²/(x-z)²+z²/(x-y)²et montrer qu il >=2

[invité576543]

en posant par exemple min = (x-y)²
g essayé de partir de
(x²+y²+z²)/(x-y)²>=x²/(y-z)²+y²/(x-z)²+z²/(x-y)²et montrer qu il >=2

Je pense qu'il faut aller un peu plus loin. Tu peux choisir un ordre entre x, y et z par exemple. Si x<y<z, est-ce que le min peut-être (x-z)² ?

Cordialement,

[Gpadide]

Regarde dans le post "les classiques parmi les classiques" il y est corrigé je crois (par nasouffa si ma mémoire est bonne)

[invitec9f8146d]

oui mais c pa le meme probleme en plus dans sa solution il na pas utilisé le fait que b² - 4ac >= 0 et il n a pa traiter le cas le plus difficile càd a et c de meme signe

[invite35452583]

Bonjour,
il est vrai que dans "classiques parmi les classiques" la preuve de a+b+c<=(9/4)max(a,b,c) si b²-4ac>=0 n'est pas terminé. Une idée d'une preuve pour le cas a,b,c positifs (le reste est assez facile) est on constate une homogénéité :max(a',b',c')/(a'+b'+c')=max(a,b,c)/(a+b+c) si(a',b',c')=k(a,b,c).
On se place dans le plan P d'équation a+b+c=1, on regarde pour chaque segment issu du point de coordonnées (0,1,0) et se finissant en un point de la droite intersection de P et la plan d'équation b=0, on détermine facilement le min de max(a,b,c) sur ce segment puis on prend le mon pour chaque segment et on trouve la constante 4/9 d'où le résultat.
Tu peux t'inspirer pour ton poblème qui est plus simple. x²+y²+z² est géométriquement facile à interpréter le minimum aussi, min((y-x)²,(z-y)²,(z-x)²)=1 est facile à déterminer (remarquer les symétries : invariancepar permutation des coordonnées x,y,z invariance par symétrie centrale, ça permet de se ramener à un unique lieu géométrique simple), il ne reste plus qu'à conclure.

Cordialement

[prgasp77]

Je pense qu'il faut aller un peu plus loin. Tu peux choisir un ordre entre x, y et z par exemple. Si x<y<z, est-ce que le min peut-être (x-z)² ?

Cordialement,

Ne cherches pas de solution toute faite. Suis le conseil de mmy. Tu peux définir un ordre sur tes trois variables.
x<y<z, en répondant à la question de mmy (citée), tu vas pouvoir simplifier l'expression du min.
Maintenant, intéresse toi à la plus grande valeur que puisse prendre ledit min. Et c'est fini

[invitec9f8146d]

evidement si x<y<z ...(z-x)² ne peut pas etre le minimum
donc si (y-z)² est le min alors il est <=(z-x)²/4
mais la suite ...

[prgasp77]

Relis mon message, dans quel cas (condition sur y), avec x<y<z, est-il le plus grand ?

[invitec9f8146d]

j ai trouvé le résultat mais sans posé aucune condition sur y, est ce que c est possible ou je me suis trompé dans mes calculs?