Bonjour a tous;
Enoncé:
Soient x, y et z des réels.
Montrer que:
min((x-y)²,(x-z)²,(y-z)²)<=(a²+b²+c²)/2
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Bonjour a tous;
Enoncé:
Soient x, y et z des réels.
Montrer que:
min((x-y)²,(x-z)²,(y-z)²)<=(a²+b²+c²)/2
Salut,
c'est quoi a, b, et c ?
Cordialement.
je pense que l'inégalité est
oui c sa , je m execuse
Et qu'as-tu déjà obtenu? Où bloques-tu exactement?
Cordialement,
au lieu de 1/2 j ai trouvé 4/3 càd
min((x-y)²,(x-z)²,(y-z)²)<=4*(a²+b²+c²)/3 ce qui est plus grand que 1/2
Comment?
Et à quelles autres pistes as-tu pensé?
Cordialement,
en posant par exemple min = (x-y)²
g essayé de partir de
(x²+y²+z²)/(x-y)²>=x²/(y-z)²+y²/(x-z)²+z²/(x-y)²et montrer qu il >=2
Je pense qu'il faut aller un peu plus loin. Tu peux choisir un ordre entre x, y et z par exemple. Si x<y<z, est-ce que le min peut-être (x-z)² ?
Cordialement,
Regarde dans le post "les classiques parmi les classiques" il y est corrigé je crois (par nasouffa si ma mémoire est bonne)
oui mais c pa le meme probleme en plus dans sa solution il na pas utilisé le fait que b² - 4ac >= 0 et il n a pa traiter le cas le plus difficile càd a et c de meme signe
Bonjour,
il est vrai que dans "classiques parmi les classiques" la preuve de a+b+c<=(9/4)max(a,b,c) si b²-4ac>=0 n'est pas terminé. Une idée d'une preuve pour le cas a,b,c positifs (le reste est assez facile) est on constate une homogénéité :max(a',b',c')/(a'+b'+c')=max(a,b,c)/(a+b+c) si(a',b',c')=k(a,b,c).
On se place dans le plan P d'équation a+b+c=1, on regarde pour chaque segment issu du point de coordonnées (0,1,0) et se finissant en un point de la droite intersection de P et la plan d'équation b=0, on détermine facilement le min de max(a,b,c) sur ce segment puis on prend le mon pour chaque segment et on trouve la constante 4/9 d'où le résultat.
Tu peux t'inspirer pour ton poblème qui est plus simple. x²+y²+z² est géométriquement facile à interpréter le minimum aussi, min((y-x)²,(z-y)²,(z-x)²)=1 est facile à déterminer (remarquer les symétries : invariancepar permutation des coordonnées x,y,z invariance par symétrie centrale, ça permet de se ramener à un unique lieu géométrique simple), il ne reste plus qu'à conclure.
Cordialement
Ne cherches pas de solution toute faite. Suis le conseil de mmy. Tu peux définir un ordre sur tes trois variables.
x<y<z, en répondant à la question de mmy (citée), tu vas pouvoir simplifier l'expression du min.
Maintenant, intéresse toi à la plus grande valeur que puisse prendre ledit min. Et c'est fini
evidement si x<y<z ...(z-x)² ne peut pas etre le minimum
donc si (y-z)² est le min alors il est <=(z-x)²/4
mais la suite ...
Relis mon message, dans quel cas (condition sur y), avec x<y<z, est-il le plus grand ?
j ai trouvé le résultat mais sans posé aucune condition sur y, est ce que c est possible ou je me suis trompé dans mes calculs?