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Théorie des groupes



  1. #1
    Mataka

    Théorie des groupes


    ------

    Bonjour,

    je cherche une coresspondance entre les éléments du groupe cyclique d'ordre 2 (C2) et des permutations d'un sous groupe du groupe symétrique d'ordre 4 (S4).

    J'ai fait plusieurs essais erreur et j'ai rien trouvé de concluant. Existe-t-il une façon systématique de procédé ? Aussi quelqu'un connait un endroit où trouver la table de multiplication complète de S4 ?

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Théorie des groupes

    Bonsoir,
    je ne comprends pas très bien ce que tu veux dire par correspondance.
    Sinon pour info, qui répond peut-être à ta question, les sous-groupes de S4 se partitionnent en deux classes pour la conjugaison interne
    3 <(ab)(cd)> (dans A4 sous-groupe alterné de S4) tous compris dans un même V4 (isomorphe à un C2xC2)
    6 <(ab)>

    Pour la table, je ne sais pas je ne travaille jamais avec les tables de multiplication (trop fastidieux).

    Cordialement

  3. #3
    Mataka

    Re : Théorie des groupes

    (je comprend pas trop votre notation, mais j'y travaille ...)
    Et bien comme vous dites, les groupes d'ordre 4 sont classé en deux catégories. Le groupe V4 a sa correspondance (isomorphe) avec par exemple le sous groupe de S4 [(1), (12), (34), (12)(34)]. Ce que je cherche c'est un sous groupe de S4 qui est isomorphe avec le groupe cyclique d'ordre 4.

    (pour les tables de multiplications, parfaitement daccord mais je commence alors c'est plus intuitif ...)

  4. #4
    Blueberry

    Re : Théorie des groupes

    Bonsoir, mais pourquoi ne prends tu pas un sous groupe de S4 en gendré par un 4-cycle quelqonque ?

    par exple <(1,2,3,4)>

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    martini_bird

    Re : Théorie des groupes

    Citation Envoyé par Blueberry Voir le message
    Bonsoir, mais pourquoi ne prends tu pas un sous groupe de S4 en gendré par un 4-cycle quelqonque ?

    par exple <(1,2,3,4)>
    Salut,

    car tu obtiendrais Z/4Z, qui n'est pas isomorphe à V4.

    Comme l'a décrit homotopie, le plus simple est de considérer un sous-groupe engendré par deux éléments d'ordre 2.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. #6
    Blueberry

    Re : Théorie des groupes

    Bonsoir,

    mais V4 c'est bien Z/2Z x Z/2Z ?

  8. #7
    Mataka

    Re : Théorie des groupes

    Je suis pas sur de comprendre, mais bon deux éléments d'ordre 2 ça me semble assez vaste. Il y a plusqu'un solution je sais bien mais j'en ai essayé plusieurs éléments d'ordre deux et toujours sans succès.

  9. #8
    Mataka

    Re : Théorie des groupes

    Wow laissez faire j'ai trouvé, c'est plus con que je croyais.

    Par contre dans le même ordre d'idées un problème me fait bloqué pas mal. On me demande de trouver un g tel que

    g^-1*g1*g=g2

    tel que g1=(12)(345) et g2=(23)(145)

    Comment procéder pour ce genre de problème ?

  10. #9
    homotopie

    Re : Théorie des groupes

    Citation Envoyé par Mataka Voir le message
    Wow laissez faire j'ai trouvé, c'est plus con que je croyais.

    Par contre dans le même ordre d'idées un problème me fait bloqué pas mal. On me demande de trouver un g tel que

    g^-1*g1*g=g2

    tel que g1=(12)(345) et g2=(23)(145)

    Comment procéder pour ce genre de problème ?
    Bonsoir,
    une chose indispensble à savoir pour ce genre de problèmes est si g est un élément de Sn et h=(i1j1k1..)(i2j2..)...(imjmkm ) alors ghg^(-1)=(g(i1)g(j1)g(k1)...)(g(i2)g (j2)...)...(g(im)g(jm)g(km)... )
    Par exemple g=(12)(34) h=(1432) ghg-1=(2341). Il suffit de poser le problème pour le montrer.
    Pour ton problème il faut inverser g pour une question d'ordre dans l'écriture. Un 2 cycle fait l'affaire ici.

  11. #10
    Mataka

    Re : Théorie des groupes

    Bon, je vois avouer que j'ai pas compris grand chose de ce que vous avez dit, mais oui par contre g doit faire partie de S5. Aussi vous avez raison par rapport à g, la question l'inverse de côté finalement.

    Quand vous dites un deux cycles vous voulez dire qqch du genre (ab) ?

  12. #11
    homotopie

    Re : Théorie des groupes

    Citation Envoyé par Mataka Voir le message
    Quand vous dites un deux cycles vous voulez dire qqch du genre (ab) ?
    oui.

    Pourle reste, reprenons sur des exemples :
    g=(12) h=(123) ghg-1=(213) (1 et 2 ont été permuttés)
    g=(123) h=(1453627) ghg-1=(2451637)
    ...
    Si on cherche g t.q h'=g-1hg=(145687)(239) alors que h=(765824)(391), on pose h'=g-1hg le problème est équivalent à trouver g tel que gh'g-1=h
    g=(17468239)(5) qui convient.

    Mais on a en écrivant h ainsi (247658)(139)
    On a g=(12)(578) qui convient aussi.

    Cordialement

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