Polynome, base

[invite7be01fc0]

Bonjours à tous,
J'ai un petit problème concernant un sujet de math :

a1 a2 a3 trois réels tels que a1<a2<a3, on définit les polynomes L1, L2, L3 par :

L1(X)=[(X-a2)(X-a3)]/[(a1-a2)(a1-a3)]

L2(X)=[(X-a1)(X-a3)]/[(a2-a1)(a3-a1)]

L3(X)=[(X-a1)(X-a2)]/[(a3-a1)(a3-a2)]

Montrer que la famille (L1,L2,L3) est une base de l'ev R2[X] des polynomes à coeff. réels et de degré inférieur à 2.

on précise que 1<=i<=3,1<=k<=3, i non = à k
calculer Li(ai) et Li(ak)

C'est la question 1.

Donc pour a1 L1=1 L2=L3=0
a2 L2=1 L1=L3=0
a3 L3=0 L1=L2=0

z1L1 +z2L2 +z3L3 = 0 donne évalué en a1

z1 = 0

évalué en a2 z2 = 0 évalué ena3 z3 = 0 d'où la liberté et base grâce à la dimension

pour P , on a P = z1 L1 +z2L2 +z3L3 en évaluant on a zi = P(ai) ce sont les coordonnées de P dans la base (Li)

voila, mais après on me demande une relation très simple de L1(X)+L2(X)+L3(X) deduite de la question précédente. Pourriez-vous m'aider ? Merci
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[invite8f53295a]

Eh bien tu sais que L1(X)+L2(X)+L3(X) est un polynôme de degré 2 qui vaut 1 aux trois points a1, a2 et a3. Que peux-tu en déduire ?

[invite7be01fc0]

je sais c'est idiot mais je n'y arrive pas ...
Je ne pense pas que la réponse est 3

[invite7be01fc0]

Puis-je en deduire que quelque soit a, la somme est egale à 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Appelons Q(X) le polynome P1(X)+P2(X)+P3(X) - 1
Quel est le degré de Q ? Le nombre de ses racines ?

[invite7be01fc0]

Qu'appelles-tu par P(X) ? Si P(X)=L(X), alors deg(Q)<=2 car c'est une somme de polynomes de degrés inférieur ou égal à 2. Je dirai qu'il y a 3 racines.

[invitebe0cd90e]

bah non, si deg(Q) <=2, il y a au plus 2 racines... or on en connait 3 donc je corrige : il y a au plus 2 racines sauf si Q est .... ?

[invite7be01fc0]

je rame .........

[invite5e2ec99a]

salu c ou kje pe posé mé kestion sur la filo,?? repondé moi svp

[invitebe0cd90e]

quel est le seul et unique polynome, de degré inferieur a 2 et qui a plus de 2 racines ?? qui a meme une infinité de racines, en fait ??? la seule exception a la regle ??

[invite7be01fc0]

le polynome nul :S

[invite5e2ec99a]

pk vs voulé pa mrepondr !! ca vA 2 seconde svp ca vou coute rien

[invite5e2ec99a]

héhoooooo repondé

[invite7be01fc0]

Bonjour Samira,
recherche google, tape : forum philo, tu devrais trouver ton bohneur, par contre je te déconseil ce language sur ces forums.

[invitebe0cd90e]

samira> personne n'est a tes ordres ici, et personne n'est la pour faire tes devoirs car j'imagine que c'est de ca qu'il s'agit...

franz> exactement ! donc tu dois pouvoir repondre a la question posée...

[invitebe0cd90e]

ah, et pour ta culture : ces polynomes ne sortent pas de nulle part, ils permettent de construire des polynomes de degré 2 qui passent par 3 point donnés.

si j'ai besoin d'un polynome de degré 2 qui passe par les points, par exemple : (a1,2), (a2,10) et (a3,7), il sffit que je prenne :

P(X)=2*L1(X)+10*L2(X)+7*L3(X)

et j'aurais P(a1)=2, P(a2)=10 et P(a3)=7, ce qui est exactement ce que je voulais. on appelle ca l'interpolation et ca a un paquet d'applications pratiques. donc non seulement c'est une base des polynomes de deg 2, mais c'est une base particuliere qui permet de construire explicitement des polynomes qui repondent a un probleme precis.

[invite7be01fc0]

bon, Q(X)=O, donc
P1(X)+P2(X)+P3(X)=1
c logique mais je ne vois pas très bien comment c déduit des coordonnées d'un polynome dans la base (P1,P2,P3)

[invitebe0cd90e]

je ne comprends pas ce qui e pose probleme : tu as montré que la famille (L1,L2,L3) est libre, et comme l'espace vectoriel des polynomes de degré au plus 2 est de dimension 3, tu as bien une base. apres, si tu veux trouver les coordonnées d'un polynomes S(X) dans cette base, il suffit de cacluler S(a1), S(a2) et S(a3) !

[invite7be01fc0]

oui merci bcp pour ton aide ( j'aurai déja du le dire),
j'ai un problème de comprehension. On me demandait de déduire une expression très simple de L1(X)+L2(X)+L3(X) grace aux coordonnées, et là je trouve que c'est 1, c ça ?

[invitebe0cd90e]

ben j'avoue que la question n'est pas tres claire, mais oui, L1+L2+L3 est egal au polynome 1.

[invite7be01fc0]

merci ! beaucoup

[invitebe0cd90e]

de rien.. meme si c'est vrai que je reste un peu perplexe, dans la mesure ou cette relation se deduit de l'hypothese de depart, et pas de la question precedente. il y avait peut etre autre chose a comprendre