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Polynome, base



  1. #1
    Franz56

    Polynome, base


    ------

    Bonjours à tous,
    J'ai un petit problème concernant un sujet de math :

    a1 a2 a3 trois réels tels que a1<a2<a3, on définit les polynomes L1, L2, L3 par :

    L1(X)=[(X-a2)(X-a3)]/[(a1-a2)(a1-a3)]

    L2(X)=[(X-a1)(X-a3)]/[(a2-a1)(a3-a1)]

    L3(X)=[(X-a1)(X-a2)]/[(a3-a1)(a3-a2)]

    Montrer que la famille (L1,L2,L3) est une base de l'ev R2[X] des polynomes à coeff. réels et de degré inférieur à 2.

    on précise que 1<=i<=3,1<=k<=3, i non = à k
    calculer Li(ai) et Li(ak)

    C'est la question 1.

    Donc pour a1 L1=1 L2=L3=0
    a2 L2=1 L1=L3=0
    a3 L3=0 L1=L2=0

    z1L1 +z2L2 +z3L3 = 0 donne évalué en a1

    z1 = 0

    évalué en a2 z2 = 0 évalué ena3 z3 = 0 d'où la liberté et base grâce à la dimension

    pour P , on a P = z1 L1 +z2L2 +z3L3 en évaluant on a zi = P(ai) ce sont les coordonnées de P dans la base (Li)

    voila, mais après on me demande une relation très simple de L1(X)+L2(X)+L3(X) deduite de la question précédente. Pourriez-vous m'aider ? Merci

    -----

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  4. #2
    BS

    Re : Polynome, base

    Eh bien tu sais que L1(X)+L2(X)+L3(X) est un polynôme de degré 2 qui vaut 1 aux trois points a1, a2 et a3. Que peux-tu en déduire ?

  5. #3
    Franz56

    Re : Polynome, base

    je sais c'est idiot mais je n'y arrive pas ...
    Je ne pense pas que la réponse est 3

  6. #4
    Franz56

    Re : Polynome, base

    Puis-je en deduire que quelque soit a, la somme est egale à 1 ?

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  8. #5
    ericcc

    Re : Polynome, base

    Appelons Q(X) le polynome P1(X)+P2(X)+P3(X) - 1
    Quel est le degré de Q ? Le nombre de ses racines ?

  9. #6
    Franz56

    Re : Polynome, base

    Qu'appelles-tu par P(X) ? Si P(X)=L(X), alors deg(Q)<=2 car c'est une somme de polynomes de degrés inférieur ou égal à 2. Je dirai qu'il y a 3 racines.

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  11. #7
    jobherzt

    Re : Polynome, base

    bah non, si deg(Q) <=2, il y a au plus 2 racines... or on en connait 3 donc je corrige : il y a au plus 2 racines sauf si Q est .... ?

  12. #8
    Franz56

    Re : Polynome, base

    je rame .........

  13. #9
    samira66

    Re : Polynome, base

    salu c ou kje pe posé mé kestion sur la filo,?? repondé moi svp

  14. #10
    jobherzt

    Re : Polynome, base

    quel est le seul et unique polynome, de degré inferieur a 2 et qui a plus de 2 racines ?? qui a meme une infinité de racines, en fait ??? la seule exception a la regle ??

  15. #11
    Franz56

    Re : Polynome, base

    le polynome nul :S

  16. #12
    samira66

    Re : Polynome, base

    pk vs voulé pa mrepondr !! ca vA 2 seconde svp ca vou coute rien

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  18. #13
    samira66

    Re : Polynome, base

    héhoooooo repondé

  19. #14
    Franz56

    Re : Polynome, base

    Bonjour Samira,
    recherche google, tape : forum philo, tu devrais trouver ton bohneur, par contre je te déconseil ce language sur ces forums.

  20. #15
    jobherzt

    Re : Polynome, base

    samira> personne n'est a tes ordres ici, et personne n'est la pour faire tes devoirs car j'imagine que c'est de ca qu'il s'agit...

    franz> exactement ! donc tu dois pouvoir repondre a la question posée...

  21. #16
    jobherzt

    Re : Polynome, base

    ah, et pour ta culture : ces polynomes ne sortent pas de nulle part, ils permettent de construire des polynomes de degré 2 qui passent par 3 point donnés.

    si j'ai besoin d'un polynome de degré 2 qui passe par les points, par exemple : (a1,2), (a2,10) et (a3,7), il sffit que je prenne :

    P(X)=2*L1(X)+10*L2(X)+7*L3(X)

    et j'aurais P(a1)=2, P(a2)=10 et P(a3)=7, ce qui est exactement ce que je voulais. on appelle ca l'interpolation et ca a un paquet d'applications pratiques. donc non seulement c'est une base des polynomes de deg 2, mais c'est une base particuliere qui permet de construire explicitement des polynomes qui repondent a un probleme precis.

  22. #17
    Franz56

    Re : Polynome, base

    bon, Q(X)=O, donc
    P1(X)+P2(X)+P3(X)=1
    c logique mais je ne vois pas très bien comment c déduit des coordonnées d'un polynome dans la base (P1,P2,P3)

  23. #18
    jobherzt

    Re : Polynome, base

    je ne comprends pas ce qui e pose probleme : tu as montré que la famille (L1,L2,L3) est libre, et comme l'espace vectoriel des polynomes de degré au plus 2 est de dimension 3, tu as bien une base. apres, si tu veux trouver les coordonnées d'un polynomes S(X) dans cette base, il suffit de cacluler S(a1), S(a2) et S(a3) !

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  25. #19
    Franz56

    Re : Polynome, base

    oui merci bcp pour ton aide ( j'aurai déja du le dire),
    j'ai un problème de comprehension. On me demandait de déduire une expression très simple de L1(X)+L2(X)+L3(X) grace aux coordonnées, et là je trouve que c'est 1, c ça ?

  26. #20
    jobherzt

    Re : Polynome, base

    ben j'avoue que la question n'est pas tres claire, mais oui, L1+L2+L3 est egal au polynome 1.

  27. #21
    Franz56

    Re : Polynome, base

    merci ! beaucoup

  28. #22
    jobherzt

    Re : Polynome, base

    de rien.. meme si c'est vrai que je reste un peu perplexe, dans la mesure ou cette relation se deduit de l'hypothese de depart, et pas de la question precedente. il y avait peut etre autre chose a comprendre

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