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Intégrales impropres



  1. #1
    Bleyblue

    Intégrales impropres


    ------

    Bonjour,

    Connaitriez-vous certaines astuces amusantes pour calculer des intégrales impropres ? (au cas ou la fonction en question ne soit pas facile à antidériver je veux dire)

    Par exemple pour :



    En passant à des intégrales doubles on s'en sort.
    De même pour :



    Avec des intégrales itérées ça marche bien

    J'ai essayé de transposé les astuces pour calculer d'autres intégrales mais je n'ai rien trouvé d'intéressant et pour :



    Il faut intégrer "dans les complexe" parait-il et moi je n'ai encore jamais abordé ça donc ça ne m'aide pas.

    Avez-vous des astuces à me livrer ? (il faut que ce soit faisable avec des intégrales simple double ou curviligne dans R ou R^n car je ne connais rien d'autre malheureusement)

    merci

    -----

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  3. #2
    nassoufa_02

    Re : Intégrales impropres

    bonjour,

    pour la première je ne sais pas si je dirais une bétise mais tu peux chercher un équivalent en divisant et multipliant par x et intégrant par partie ..

    Cordialement.
    L'imagination est plus importante que la connaissance !

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Intégrales impropres

    Je ne pense pas que ce soit faisable autrement qu'en calculant :

    mais peu importe car je sais le faire

    Je cherche à savoir s'il existe d'autres astuces du même genre

    merci

  5. #4
    nassoufa_02

    Re : Intégrales impropres

    ah bah alors je suis désolée
    L'imagination est plus importante que la connaissance !

  6. #5
    martini_bird

    Re : Intégrales impropres

    Salut,

    je propose deux solutions (classiques) pour la dernière intégrale (celle du sinus cardinal).

    ____ 1. ____

    On pose . En dérivant, il vient :



    de sorte que avec puisque . Finalement
    .

    CQFD

    ____ 2. ____


    On pose , et .

    Sachant que , on voit facilement que .

    Par ailleurs, d'après le lemme de Riemann-Lebesgue, , si bien que .

    Pour conclure, il suffit de remarquer, en posant u=(2n+1)t, que .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    chwebij

    Re : Intégrales impropres

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Je ne pense pas que ce soit faisable autrement qu'en calculant :

    mais peu importe car je sais le faire

    Je cherche à savoir s'il existe d'autres astuces du même genre

    merci
    je me rappel avoir traité ce calcul avec des série entières (de là à le retrouver ) mais la methode que tu présentes est de loin la plus facile.
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

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  10. #7
    tize

    Re : Intégrales impropres

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    On pose . En dérivant, il vient :



    de sorte que avec puisque . Finalement
    .
    Bonjour,
    je ne comprends pas trop ta première démonstration mais il faut dire que pour moi les maths ça commence à faire longtemps, peut être pourras-tu m'expliquer :
    1)
    On arrive à conclure que F(t)= arctan(t)+K avec K=-pi/2 donc F(t)= arctan(t)-pi/2 et après F(0)=pi/2...où est passé le signe - ?
    2)
    d'autre part il me semble que l'on arrive à conclure que mais uniquement pour t>0 donc F(t)=arctan(t)+K pour t>0...ne faut-il pas prouver aussi que F est continue en 0 pour avoir l'égalité des deux expressions ?
    Cordialement
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  11. #8
    martini_bird

    Re : Intégrales impropres

    Salut,

    1) Oups ! F(t) est une primitive de - (oubli du signe à la dernière ligne du calcul) donc de la forme -arctan t+K et . Merci pour la correction.

    2) Oui bien sûr, j'ai passé sous silence les précautions d'usage : montrer que F est continue en 0, justifier la dérivation sous le signe , etc.

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 10/04/2007 à 11h52.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #9
    tize

    Re : Intégrales impropres

    Merci beaucoup,
    pour 2) c'était donc juste pour aller plus vite sans rentrer dans tous les détails
    mais pour 1) il y a un tout petit point précis que je ne comprends pas (désolé) je vais essayer de m'expliquer :

    F(t) = arctan(t)+K (pas de problème, j'ai compris)
    F(0) = arctan(0)+K = K= -pi/2 alors pourquoi tu écris F(0)=pi/2 (où est passé le "-" ? )
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Intégrales impropres

    Ah, c'est intéressant

    Mais je ne savais pas qu'on pouvait permuter l'intégrale et l'opérateur de dérivation la.
    Ca résulte d'un théorème particulier que je ne connais pas ?

    merci

  14. #11
    tize

    Re : Intégrales impropres

    Pardon, je n'avais pas vu la modification de ton dernier message. Maintenant je comprends.
    Merci
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  15. #12
    martini_bird

    Re : Intégrales impropres

    Citation Envoyé par tize Voir le message
    Pardon, je n'avais pas vu la modification de ton dernier message. Maintenant je comprends.
    Merci
    De rien, en fait l'erreur de signe est une ligne plus haut : . Désolé...

    Mais je ne savais pas qu'on pouvait permuter l'intégrale et l'opérateur de dérivation la.
    Ca résulte d'un théorème particulier que je ne connais pas ?
    Pour les hypothèses, il faudrait regarder dans le Rudin ou tout autre cours d'analyse qui se tient.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  17. #13
    tize

    Re : Intégrales impropres

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Ah, c'est intéressant

    Mais je ne savais pas qu'on pouvait permuter l'intégrale et l'opérateur de dérivation la.
    Ca résulte d'un théorème particulier que je ne connais pas ?

    merci
    en fait on ne peut pas toujours, il faut pouvoir dominer la dérivée de l'intégrande par une fonction intégrable en x et indépendante de la variable t.
    Voir par exemple ici
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  18. #14
    Bleyblue

    Re : Intégrales impropres

    Ha ... je n'avais pas encore vu ce résultat la.

    merci

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