Intégrales impropres

[Bleyblue]

Bonjour,

Connaitriez-vous certaines astuces amusantes pour calculer des intégrales impropres ? (au cas ou la fonction en question ne soit pas facile à antidériver je veux dire)

Par exemple pour :



En passant à des intégrales doubles on s'en sort.
De même pour :



Avec des intégrales itérées ça marche bien

J'ai essayé de transposé les astuces pour calculer d'autres intégrales mais je n'ai rien trouvé d'intéressant et pour :



Il faut intégrer "dans les complexe" parait-il et moi je n'ai encore jamais abordé ça donc ça ne m'aide pas.

Avez-vous des astuces à me livrer ? (il faut que ce soit faisable avec des intégrales simple double ou curviligne dans R ou R^n car je ne connais rien d'autre malheureusement)

merci
-----

[invite870bfaea]

bonjour,

pour la première je ne sais pas si je dirais une bétise mais tu peux chercher un équivalent en divisant et multipliant par x et intégrant par partie ..

Cordialement.

[Bleyblue]

Je ne pense pas que ce soit faisable autrement qu'en calculant :

mais peu importe car je sais le faire

Je cherche à savoir s'il existe d'autres astuces du même genre

merci

[invite870bfaea]

ah bah alors je suis désolée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

je propose deux solutions (classiques) pour la dernière intégrale (celle du sinus cardinal).

____ 1. ____

On pose . En dérivant, il vient :



de sorte que avec puisque . Finalement
.

CQFD

____ 2. ____

On pose , et .

Sachant que , on voit facilement que .

Par ailleurs, d'après le lemme de Riemann-Lebesgue, , si bien que .

Pour conclure, il suffit de remarquer, en posant u=(2n+1)t, que .

Cordialement.

[invited9d78a37]

Je ne pense pas que ce soit faisable autrement qu'en calculant :

mais peu importe car je sais le faire

Je cherche à savoir s'il existe d'autres astuces du même genre

merci

je me rappel avoir traité ce calcul avec des série entières (de là à le retrouver ) mais la methode que tu présentes est de loin la plus facile.

[inviteae1ed006]

On pose . En dérivant, il vient :



de sorte que avec puisque . Finalement
.

Bonjour,
je ne comprends pas trop ta première démonstration mais il faut dire que pour moi les maths ça commence à faire longtemps, peut être pourras-tu m'expliquer :
1)
On arrive à conclure que F(t)= arctan(t)+K avec K=-pi/2 donc F(t)= arctan(t)-pi/2 et après F(0)=pi/2...où est passé le signe - ?
2)
d'autre part il me semble que l'on arrive à conclure que mais uniquement pour t>0 donc F(t)=arctan(t)+K pour t>0...ne faut-il pas prouver aussi que F est continue en 0 pour avoir l'égalité des deux expressions ?
Cordialement

[invite4793db90]

Salut,

1) Oups ! F(t) est une primitive de - (oubli du signe à la dernière ligne du calcul) donc de la forme -arctan t+K et . Merci pour la correction.

2) Oui bien sûr, j'ai passé sous silence les précautions d'usage : montrer que F est continue en 0, justifier la dérivation sous le signe , etc.

Cordialement.

[inviteae1ed006]

Merci beaucoup,
pour 2) c'était donc juste pour aller plus vite sans rentrer dans tous les détails
mais pour 1) il y a un tout petit point précis que je ne comprends pas (désolé) je vais essayer de m'expliquer :

F(t) = arctan(t)+K (pas de problème, j'ai compris)
F(0) = arctan(0)+K = K= -pi/2 alors pourquoi tu écris F(0)=pi/2 (où est passé le "-" ? )

[Bleyblue]

Ah, c'est intéressant

Mais je ne savais pas qu'on pouvait permuter l'intégrale et l'opérateur de dérivation la.
Ca résulte d'un théorème particulier que je ne connais pas ?

merci

[inviteae1ed006]

Pardon, je n'avais pas vu la modification de ton dernier message. Maintenant je comprends.
Merci

[invite4793db90]

Pardon, je n'avais pas vu la modification de ton dernier message. Maintenant je comprends.
Merci

De rien, en fait l'erreur de signe est une ligne plus haut : . Désolé...

Mais je ne savais pas qu'on pouvait permuter l'intégrale et l'opérateur de dérivation la.
Ca résulte d'un théorème particulier que je ne connais pas ?

Pour les hypothèses, il faudrait regarder dans le Rudin ou tout autre cours d'analyse qui se tient.

Cordialement.

[inviteae1ed006]

Ah, c'est intéressant

Mais je ne savais pas qu'on pouvait permuter l'intégrale et l'opérateur de dérivation la.
Ca résulte d'un théorème particulier que je ne connais pas ?

merci

en fait on ne peut pas toujours, il faut pouvoir dominer la dérivée de l'intégrande par une fonction intégrable en x et indépendante de la variable t.
Voir par exemple ici

[Bleyblue]

Ha ... je n'avais pas encore vu ce résultat la.

merci