intégrale double et changement de variables

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je suis en train d'étudier les intégrales doubles, et je me suis retrouvé sur un chapitre intitulé "Changement de variables". Les définitions y sont assez lourdes, mais malheureusement, il n'y a pas d'exemples ou d'exercices corrigés de donnés, ce qui m'empêche de bien comprendre la manière de procéder.

Je voudrais donc un exemple de changement de variable utilisant la propriété suivante :



(je ne détaille pas les différents termes, je pense que vous les connaissés, mais s'il y a un problème dans les notations dites le moi )

Est-ce que quelqu'un pourrait-il me donner un exemple de ce type d'application ?

Merci d'avance
Phys2
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[invite2ece6a9a]

Bonjour,
le changement de variable le plus utilisé ( enfin au debut) c'est celui en coordonnees polaires, (r, téta)

Un exemple : D = { cercle de centre (0,0) de rayon 1}
f(x,y) = x²+y²

normalement le determinant de la jacobienne tu dois trouver r.

[Seirios]

On aurait donc avec , qui passerait à avec ? (je pense que je me suis trompé quelque part, parce que je trouve un résultat nul...)

[invite88ef51f0]

Salut,
Représente tes domaines sur un schéma : D est un carré alors que est un cercle !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

J'ai du mal à trouver le domaine D...un petit indice ?

Sinon le domaine est juste ? On a donc bien un résultat nul ? (finalement ça me paraît logique, un peu comme si on intégrait une fonction cosinus sur l'intervalle )

[invited9d78a37]

On a donc bien un résultat nul ?

a priori dans l'exemple donné, f est plus grand ou égal a zero donc ton intégrale n'est pas nulle
voila le calcul si tu en as besoin
juste pour te montrer ton erreur, le rayon ne peut etre que positif donc est faux

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[Calvert]

Dans l'exemple plus haut, ton domaine D est un carré. Dans ce cas-là, il est absurde de passer en coordonnées polaires (le domaine d'intégration prendrait une expression terrible). Si tu intègres dans un rectangle, les coordonnées cartésiennes standard sont bien adaptée.

Si ton domaine d'intégration est un disque, alors passer en coordonnées polaire prend tout son sens.

Par exemple, imagine que tu souhaite calculer l'aire d'un disque. En coordonnées cartésienne, tu as:






avec et

Alors qu'en coordonnées polaires:




Ce qui fait toute la différence du point de vue de la difficulté de l'intégration.

[invitefa5fd80c]

On aurait donc avec , qui passerait à avec ? (je pense que je me suis trompé quelque part, parce que je trouve un résultat nul...)

J'ai du mal à trouver le domaine D...un petit indice ?

Sinon le domaine est juste ? On a donc bien un résultat nul ? (finalement ça me paraît logique, un peu comme si on intégrait une fonction cosinus sur l'intervalle )

Salut,

Tout d'abord le domaine est donné par :



Par définition, ne peut être que positif ou nul.


Le domaine D est pour sa part donné par :




Enfin, étant donné que l'on intègre la fonction qui est toujours positive à l'intérieur de , sauf en où elle est nulle, le résultat est obligatoirement positif et ne peut être nul.

[Seirios]

OK merci, je pense être au point sur le changement de variable en coordonnées polaires (j'ai refais le calcul et j'ai trouvé le bon résultat)