Probabilités et tablettes de chocolat!

[Soo]

Voici l'énnoncé d'un exercice qui me pose un peu problème, dans la compréhensiond es questions surtout. En fait j'ai l'impression que me repose plusieurs fois les mêmes!

Un industril fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir ses ventes, il décide d'offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner exactement 1 place de cinéma, 40% exactement 2 places de cinéma. On note P(A/B) la probabilité conditionnelle de l'événement A sachant que L'événement B est réalisé.

1/ On considère les événements suivants:
G= le client achète une tablette gagnante.
U= le client gagne exactement une place de cinéma.
D= le client gagne exactement 2 places de cinéma.

a/ Donner P(G), P(U/G) et P(D/G)
J'ai donc:
P(G)=1/2
P(U/G)=(1/2)*0.6=0.3
P(D/G)=(1/2)*0.4=0.2

b/ Montrer que la probabilité de gagner exactement une place de cinéma est égale à 0.3. C'est pas ce que j'ai calculé à la question d'avant, à savoir P(U/G)? Ou alors il faut calculer P(U)? Mais les événements U et G me semblent dépendants...

Merci d'avance!
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[yat]

La première question, c'est juste pour formaliser l'énoncé. Ce que tu as calculé, c'est P(U) et P(D).

[invite79d10163]

bonjour,

je suis d'accord tu a directement calculé P(U), etc..
La probabilité conditionelle P(U|G) est simplement égal à 0.6. c'est simplement la probabilité d'avoir une place de ciné sachant que de toute façon tu as déja un ticket gagnant.

[Soo]

Merci, je comprend mieux!
Donc P(U)=0.5*0.6=0.3

Voici la suite:
c/ Soit X la variable aléatoire égale au nombre de places de cinéma gagnées par le client. Déterminer la loi de X et calculer son espérance.

Loi de X:
P(X=0)=1/2
P(X=1)=P(U)=0.3
P(X=2)=P(D)=0.2

Et donc E(X)=0*0.5+1*0.3+2*0.2=0.7

Quelqu'un peut confirmer?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1a4d7f76]

salut Soo ,moi aussi je trouve bien 0.7 pour l'esperance.

[Soo]

Merci ririri!

[invite986312212]

et pour prolonger l'exercice:
suppose que tu veuilles emmener ta petite amie au cinéma. Saurais-tu calculer l'espérance du nombre de tablettes de chocolat qu'il te faudra acheter pour avoir deux places? attention: pas forcément dans la même tablette...

[Soo]

On me pose cette question plus loin dans l'exercice!
Mais avant on me dit qu'un client achète 2 jours de suite une tablette de chocolat.
a/ Déterminer la probabilité qu'il ne gagne aucune place de cinéma.
Je suppose qu'il faut utiliser la loi binomiale, avec k=0 et n=2, c'est à dire qu'il n'y a aucun succès au cours des 2 tentatives. De plus les événements sont indépendants d'un jour sur l'autre.
D'où X suit B(2,1/2).
Suis-je sur la bonne voie?

[invite986312212]

ce n'est pas mal, mais tu as oublié le coup des deux places dans une même tablette. Un client chanceux peut gagner jusqu'à 4 places en deux jours! Donc ce n'est pas B(2,1/2). Par contre, pour calculer la probabilité d'aucune place en deux jours, tu n'as pas besoin de la loi de X, juste P(X=0) qui se calcule en tenant compte de l'indépendance entre jours (tablettes).

[Soo]

Ca reste quand même une noi binomiale non? Car dans mon cas j'ai n ewpériences (ici n=2, jour un et jour 2) avec 2 possibilités: succès: acheter une tablette gagnante, échec: acheter une tablette perdante.
Comme on me demande de calculer la probabilité de ne gagner aucune place, donc ne n'acheter que des tablettes perdantes, alors il faut calculer P(X=0).
Ou alors je suis passé à côté de quelque chose?

[invite986312212]

je pensais que X représentait le nombre de places gagnées. Si X est le nombre de tablettes gagnantes, alors effectivement X suit la loi binomiale B(2,0.5).

[Soo]

Ah oui en effet X représente le nombre de places gagnées...je me replonge dedans alors...

[invite986312212]

oui mais pour X=0 ça coïncide (0 tablettes gagnantes = 0 places gagnées). Après ça se corse.

[Soo]

Oui en effet après ça se corse...
Donc pour P(X=0) je trouve 0.25
Ensuite on me demande la probabilité que le client gagne au moins une place de cinéma.
Il faut donc que je calcule P(X>=1) donc 1-P(X<1)=1-P(X=0)
Et je trouve donc 0.75.

Maintenant on me demande de montrer que la probabilité de gagner exactement 2 places de cinéma est égale à 0.29.
Il faut donc montrer que P(X=2)=0.29.
J'ai trouvé qu'il y avait 3 possibilités de gagner exactement 2 places sur 9 possibilités en tout (gagner 0 à 4 places au maximum sur 2 jours). Le client gagne soit 1 place par jour, soit 2 places le 1er jour et aucune le second, soit aucune le 1er jour et 2 le second.

Il y a 2 expériences indépendantes (jour 1 et jour 2), et 2 issues: succès en proportion 1/3 (avoir exactement 2 places), échec (ne pas avoir exactement 2 places).
X suit donc B(2,1/3).

Mais si je calcule P(X=2) avec la loi binomiale je trouve 1/9.
Est-ce que je me suis trompée de loi?

[invite986312212]

là il faut que tu abandonnes la loi binomiale et que tu raisonnes directement sur les trois cas que tu as identifiés: (0,2), (2,0) et (1,1). Comme ils sont exclusifs, la proba que tu cherches est la somme des probas de chacun des cas.

[Soo]

Merci bneaucoup de ton aide, j'arrive au résultat final!