Deux questions

[invite9a73cc9b]

Bonjour,

L'examen de math approche et je voudrais connaître la réponse à deux questions qui me semblent particulièrement difficiles :

1) Soit la matrice réelle

http://forums.futura-sciences.com/at...1&d=1180810747

Déterminez une matrice orthogonale O telle que O^-1MO est diagonale, ou expliquez pourquoi une telle matrice O n'existe pas.

2) Si g est un élément d'ordre m (fini ou infini) d'un groupe G, *, e, que vaut l'ordre de l'inverse de g : g^-1?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide,

soel
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[GuYem]

Salut,

Pour la deuxième question, tu as essayé de calculer (g^-1)^m ?

[invite9a73cc9b]

Oui en effet ça marche par exemple pour le groupe Z/6Z, +, 0 parce que ord(2)=3 et ord(3)=2. Mais pour IR, . , 1, ça marche pas vu que l'ordre de tous les éléments est = à 0 : 5⁰ = 1 , -234⁰ = 1, etc...

Et si l'ordre d'un élément est infini, alors l'ordre de son inverse l'est aussi? Ou bien tt simplement il n'a pas d'inverses?

[indian58]

Oui en effet ça marche par exemple pour le groupe Z/6Z, +, 0 parce que ord(2)=3 et ord(3)=2. Mais pour IR, . , 1, ça marche pas vu que l'ordre de tous les éléments est = à 0 : 5⁰ = 1 , -234⁰ = 1, etc..

2+3=5 dans Z/6Z. L'inverse de 2 c'est -2=4.
Dans IR, je ne vois pas en quoi ça ne marcherait pas.

Et si l'ordre d'un élément est infini, alors l'ordre de son inverse l'est aussi? Ou bien tt simplement il n'a pas d'inverses?

dire que l'ordre d'un élément est infini c'est aussi dire que son ordre est nul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a73cc9b]

2+3=5 dans Z/6Z. L'inverse de 2 c'est -2=4.

Par Z/6Z j'entends le groupe cyclique additif Z₆ des entiers modulo 6.
ord(2) est donc 3 parce que 2+2+2=6, 6mod6=0. L'inverse de 2 dans Z/6Z n'est pas -2, mais 4, car 2 + 4 = 0.

En fait il faudrait répondre à la question de manière générale : quel est l'ordre de l'inverse d'un g qui est d'ordre m? (deux cas = m fini ou infini).

Et n'hésitez pas à répondre à la première question aussi!

Merci

[GuYem]

Par Z/6Z j'entends le groupe cyclique additif Z₆ des entiers modulo 6.
ord(2) est donc 3 parce que 2+2+2=6, 6mod6=0. L'inverse de 2 dans Z/6Z n'est pas -2, mais 4, car 2 + 4 = 0.

En fait il faudrait répondre à la question de manière générale : quel est l'ordre de l'inverse d'un g qui est d'ordre m? (deux cas = m fini ou infini).

Et n'hésitez pas à répondre à la première question aussi!

Merci

-2 et 4 dans Z/6Z, c'est la même chose, justement parce que 4+2=6...

Je pense que, dans les deux cas (fini ou infini) l'ordre de l'inverse est le même que l'ordre de l'élément.

Pour la première question, on peut trouver O orthogonale qui diagonalise M car M est symétrique. Pour le faire, il suffit de regarder le produit scalaire défini par M et d'en trouver une base orthonormée.

[invite9a73cc9b]

Je pense que, dans les deux cas (fini ou infini) l'ordre de l'inverse est le même que l'ordre de l'élément.

Pourrais-tu développer comment t'es arrivé à ça?

Pour la première question, on peut trouver O orthogonale qui diagonalise M car M est symétrique. Pour le faire, il suffit de regarder le produit scalaire défini par M et d'en trouver une base orthonormée.

Merci!!

[indian58]

L'inverse d'un élément g a le même ordre que g.
En effet, si g est d'ordre n (fini), alors (g^-1)ⁿ= (gⁿ)^-1=1. Donc l'ordre m de g^-1 divise n (en particulier est fini) i.e.n=m*l. Dans ces conditions, g^m=((g^m)^-1) ^-1= ((g^-1)^-m) ^-1=1. Donc n divise m. Ainsi n=m.
si g est d'ordre infini (ou nul, c'est la même définition), alors, si g^-1 est d'ordre fini n, gⁿ=((g^-1)ⁿ)^-1=1. Donc g est d'ordre fini. Donc g^-1 est d'ordre infini.

[invite9a73cc9b]

Merci indian!!