Une inégalité avec exp(-x)

**Gpadide** · 24/06/2007, 16h41

Bonjour,

je cherche a montrer que pour tout entier naturel n :

$\text{[math]}$

J'ai essayé accroissements finis, étude de fonction, ln (1 + x ) < x mais rien de tout cela n'aboutit...
Merci pour votre aide.

invite4ef352d8 · 24/06/2007, 17h03

Salut !

le résultat est grossièrement faux.

ecrit la pour n=1 par exemple et c'est clairement abérant : exp(-x)+x-1 < x²exp(-x)

**Gpadide** · 24/06/2007, 19h22

oui en effet petite erreur désolé:
il faut diviser par n le membre de droite

Par ailleurs x est compris entre 0 et n...

**Flyingsquirrel** · 24/06/2007, 20h17

Bonsoir,

En réécrivant l'inégalité sous la forme :
$\text{[math]}$
on ramène le problème à une étude de deux fonctions dont on peut simplement déterminer les maxima absolus... mais ca ne permet d'établir le résultat que pour $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ericcc** · 25/06/2007, 11h45

Envoyé par Flyingsquirrel

Bonsoir,

En réécrivant l'inégalité sous la forme :
$\text{[math]}$
on ramène le problème à une étude de deux fonctions dont on peut simplement déterminer les maxima absolus... mais ca ne permet d'établir le résultat que pour $\text{[math]}$ .

En étudiant la fonction

$\text{[math]}$

On trouve facilement le résultat qui est vrai pour tout n

Une inégalité avec exp(-x)

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