Division de polynome a la main

[inviteb54cf757]

Voilà en révisant mes DL je suis tombé sur celui de tangente que j'ai voulu calculer avec les DL de sinus et cosinus à l'ordre 3 en passant pas la division euclidienne en partant des puissances les plus faibles vers celles les plus fortes ...

bon j'ai fait le calcul classique qui demandes bcp bcp d'opérations et j'aimerais retrouver les méthodes de division des polynomes qui permettent de faire moins d'opérations à la main
... et donc moins d'erreurs car la méthode bête et méchante où on cherche le quotient en partant de la plus petite puissance (mais généralement de la plus élevée) induit forcément des erreurs d'inatentions.
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[cedbont]

Bonjour,
si j'ai bien compris tu as obtenu le DL de tan en 0 en divisant le DL de sin en 0 par celui de cos. Tu as donc obtenu quelque chose comme ça :

C'est plus simple de multiplier que de diviser, non ?

[invitec053041c]

Notre prof nous avait montré une technique assez rapide pour déterminer les coefficients du dvp de tan les uns après les autres (et pas en paquet), avec l'équation différentielle vérifiée par tan: tan'=1+tan²
Car les 3/17 et 17/315 (je crois), c'est pas si simple à trouver si on perd un minimum d'attention .

[invitec053041c]

D'ailleurs c'est 2/15...bref!
Je crois me rappeler de comment on fait.
On sait que le dvp de tan(x) commence par x et que tan est impair.
Donc si on vaut le terme en , on pose:

Et comme tan est C-infini au voisinage de 0, elle vérifie le dvp de taylor Young:

D'où a=1/3
Ca peut faire magouille inutile à ce stade, mais pour les termes suivants, ça s'avère pratique.

(vous allez me dire qu'on ne dérive pas un DL!!! mais l'argument de Taylor Young serait suffisant )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

(vous allez me dire qu'on ne dérive pas un DL!!! mais l'argument de Taylor Young serait suffisant )

Si on ne dérive pas un DL à la légère, mais on dérive une série entière et l'argument est que tg est analytique et pas simplement .

[invitec053041c]

Si on ne dérive pas un DL à la légère, mais on dérive une série entière et l'argument est que tg est analytique et pas simplement .

D'accord, merci de la précision, je savais qu'il manquait quelque chose .
Sinon, que signifie exactement le fait que tan soit analytique ?
Merci !

[invite35452583]

D'accord, merci de la précision, je savais qu'il manquait quelque chose .
Sinon, que signifie exactement le fait que tan soit analytique ?
Merci !

Entre autres, mais ce qui nous intéresse ici, la fonction tangente est égale à la série entière

[invite4ef352d8]

enfait, Cinfinit suffit largement pour dériver un Dl :
on a certe pas le droit de dériver un o(x^n), mais on a le droit de l'intégrer... donc l'existence d'un dévelopement limité de la dérivé autorise a dérivé le Dl.

[invite35452583]

enfait, Cinfinit suffit largement pour dériver un Dl :
on a certe pas le droit de dériver un o(x^n), mais on a le droit de l'intégrer... donc l'existence d'un dévelopement limité de la dérivé autorise a dérivé le Dl.

Ah oui en effet.

[inviteb54cf757]

D'ailleurs c'est 2/15...bref!
Je crois me rappeler de comment on fait.
On sait que le dvp de tan(x) commence par x et que tan est impair.
Donc si on vaut le terme en , on pose:

Et comme tan est C-infini au voisinage de 0, elle vérifie le dvp de taylor Young:

D'où a=1/3
Ca peut faire magouille inutile à ce stade, mais pour les termes suivants, ça s'avère pratique.

(vous allez me dire qu'on ne dérive pas un DL!!! mais l'argument de Taylor Young serait suffisant )

Merci, c'est bon pour tan je trouve ça assez satisfaisant et la discussion qui ensuit également.
Néanmoins mon pb n'est pas forcément dans le DL de la tangente mais plus dans des méthodes de calculs rapides de division de polynomes à la main. Quelqu'un n'aurait pas des petits trucs pour éviter le nombre d'opération faramineux que nécessite la méthode "bête et méchante"?

Ce que j'appelle bête et méchant c'est le fameux bidule (machin?) qui se présente comme ça :

dividende | diviseur
............ |-------------
............ | quotient
------------ |
reste

Si vous voyez ce que je veux dire ... Merci

[invitec053041c]

Merci à Ksilver et homotopie pour vos précisions.
Sinon je vais essayer de retrouver la magouille dans mon cours sur la division des polynômes "à l'envers" de la marche normale .

[inviteb54cf757]

tu veux dire en commençant avec la plus petite puissance (ie en considérant les termes d'ordre croissant)?

si c'est cela, ça ne pose pas vraiment de problème puisque tu suprimes tous les termes d'ordre supérieur à celui que tu as choisit pour ton DL ...

étant donné qu'on est en zero et que x est "très petit" c plutôt cohérent de faire les choses "à l'envers".

[invitec053041c]

étant donné qu'on est en zero et que x est "très petit" c plutôt cohérent de faire les choses "à l'envers".

Oui tout à fait .

[inviteb54cf757]

Par contre les techniques dans le cas général pour simplifier les divisions de polynomes à la main j'ai l'impression que c'est une vue de l'esprit.

Finallement je ne suis pas sur que ça existe ou que je l'ai déjà vu.... genre souvenir qui n'en est pas un.

Je fume le pot ou bien?