Groupes

[invitebb921944]

Bonjour !
Soit F une figure du plan.
On me demande de montrer que l'ensemble des isométries du plan laissant F globalement invariante (Iso(F)) est un groupe pour la composition des applications !

Une méthode classique consiste à montrer que c'est un sous groupe (ici par exemple du groupe des isométries du plan) mais peut on utiliser le fait que le groupe des isométries du plan est un groupe dans un énoncé qui ne nous le dit pas ?

Supposons que oui !
id appartient à Iso(F) de manière évidente
Soit x, y appartient à Iso(F)
alors x(F)=F et y(F)=F
C'est là que je mélange un peu tout.
Je dois montrer que x.(y)^(-1) appartient à Iso(F)

De l'égalité y(F)=F, j'en déduis aisément que y^(-1)(F)=F mais pour cela je suppose que y admet un inverse. Or je n'ai pas encore démontrer que Iso(F) est un groupe donc je ne peux pas le supposer si ? Ou alors ca découle du fait que puisque y appartient à Iso(F), alors il appartient au groupe des isométries et il admet donc un inverse ?
Dans ce cas, ne puis-je pas dire directement :
x.(y)^(-1) appartient au groupe des isométries (c'est évident) et puisque
y^(-1)(F)=F et x(F)=F, alors x.y^(-1) appartient à Iso(F) ?

Merci d'avance !
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[invitedf667161]

Salut,
A mon avis, le fait que les isométries forment un groupe est prérequis pour cet exo.

Du coup ta démo qui tient dans les deux dernières lignes de ton post est valable.

[invitebb921944]

Merci beaucoup !
Alors pour démontrer que Iso(F) est un groupe sans démontrer que c'est un sous groupe, je dis que id appartient à Iso(F), je montre que la composée d'applications est associative et pour montrer que l'inverse de x existe, je montre que x est une bijection de l'ensemble des sommets de F dans ce meme ensemble ?

[invitebe0cd90e]

en fait, la seuls chose qui pourrait poser probleme, c'est la stabilité par composition, c'est pour ca que ca ne marche que parce qu'il y a une notion d'invariance : si tu composes 2 transformations qui laissent un objet globalement invariant, le resltat laisse aussi evidemment cet objet globalement invariant.

apres, les isometries etant par nature inversible, le resultat coule. ceci revient effectivement a dire que les elements de Iso(F) definissent des bijections de l'ensemble des sommets vers lui meme (attention, elle ne les definissent pas toutes ), mais je pense que c'est en montrer plus que necessaire. et puis peut etre que dans ce cas tu devrais faire une distinction entre polygone et courbe (un cercle a une infinité de sommet, ca marche aussi mais il y a peut etre des precautions a prendre...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

pour montrer que l'inverse de x existe, je montre que x est une bijection de l'ensemble des sommets de F dans ce meme ensemble ?

Non, c'est insuffisant, les éléments de Iso(F) sont des applications du plan dans lui même, ce soit donc être des bijections du plan dans lui même pour être inversible. Imagine que F soit une droite, alors la projection orthogonale (qui n'est pas une isométrie bien sur) sur cette droite est une bijection de cette droite vers elle-même, mais pas une bijection du plan sur lui-même.

[invitebb921944]

Merci à vous
Je continue les exos !