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Barycentre



  1. #1
    Clemgon

    Question Barycentre


    ------

    Bonjour à tous!
    Je cherche depuis longtemps la réponse à ce problème que je me suis créé mais je crains que mes connaissances ne soient pas suffisantes.

    Soit S une figure composée: d'un demi-cercle de centre O et de rayon r, ainsi que d'une demi-ellipse, de centre O de petit axe 2r (petit axe en entier) et de demi grand axe ?(3)r (il n'y a que la moitié du grand axe).
    S forme une courbe plane, fermée, qui a un peu l'allure d'un oeuf.
    Question: où se situe le barycentre de S ?

    -----

  2. #2
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Bonjour.
    On sait déjà que le barycentre sera sur l'axe de symétrie. Il faut donc chercher l'abscisse sur cet axe, de la séparation pour laquelle l'aire à gauche sera la même que l'aire à droite.
    Il faut donc trouver une fonction "aire", par exemple en rendant l'équation de ton ellipse et de ton cercle fonctionnelles...
    Car l'aire d'une ellipse est relativement simple à calculer, mais un morceau d'ellipse sectionné verticalement, je ne l'ai jamais fait.

    Ellipse: x²/a²+y²/b²=1 pour x<0 (par exemple) et tu as une relation apparemment entre a,b et r.
    Cercle: x²+y²=r² pour x>0
    Après ça risque de bien se compliquer, mais pour le moment je ne vois pas d'autre manière.
    Cogito ergo sum.

  3. #3
    Clemgon

    Re : Barycentre

    Hum...c'est bien ce qu'il me semblait: je n'ai pas les connaissances.
    Je vais entrer en Ière!!
    Bon en tout cas si quelqu'un arrive à me donner la distance OG (avec G le barycentre)en fonction de r, je comprendrais cela. Mettez quand même la solution que je prendrai plaisir à comprendre dans quelques années...

  4. #4
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Ah oui d'accord, si tu n'as pas vu les intégrales et les coniques (dont les ellipses), ça sera très difficile. Mais même les ayant vu je crains que ce soit assez difficile .
    Cogito ergo sum.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Clemgon

    Re : Barycentre

    Je ne peux pas dire que je maîtrise les coniques, mais je les connais et je sais comment les obtenir avec un cône. Quant aux intégrale, j'ai juste comrpis la notion, mais pas comment parvenir aux résultats. Et impossible de comprendre les dérivées et les primitives...

  7. #6
    Nox

    Re : Barycentre

    Bonjour,

    C'est bizarre decomprendre la notion d'intégrale sans comprendre la dérivée et la primitive ... Maitrise deja les réivées, après si tu veux on peut te parler des primitives et des intégrales ...

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  8. #7
    Clemgon

    Re : Barycentre

    C'est peut-être bizarre... mais c'est pas un problème j'ai du temps pour apprendre et comprendre. En attendant il n'y a personne ici qui soit capable d'exprimer OG en fonction de r et d'expliquer pourquoi? J'en doute, alors aidez-moi s'il vous plaît!

  9. #8
    Clemgon

    Re : Barycentre

    Bon, puisqu'il n'y a personne pour me donner la réponse, j'ai peut-être trouvé un truc ce matin: ça ressemble peut-être un peu à ce qu'a dit Ledescat, mais si j'ai bien compris ce n'est quand même pas pareil:
    on prend un repère (O,I,J) orthonormé.
    On trace la courbe Cf, repésentatitive de la fonction f, qui forme un quart d'ellipse de même excentricité que celle de S, telle que les deux points M et N suivants appartiennent à Cf : M(0;1) et N("racine carrée de 3";0).
    Au passage je viens de me rendre compte que le point d'interrogation en #1 était une racine carrée. M et N sont les extrémités de la courbe.
    ça je dois le faire sur ma calculatrice graphique, et ensuite c'est nettement moins mathématique puisque j'y vais "à tatons": je calcule l'intégrale de f(x) avec pour réels des points allants de 0 à "racine carrée de 3" (ça c'est pour a, avec les deux précédents nombres exclus) et avec b=racine carrée de 3. Et quand le résultat trouvé est le plus proche possible de 1,072873843... (qui, si je ne me trompe pas, correspond au quart de l'aire de S en fonction de r), c'est gagné! le barycentre sera le point de coordonnées (a;0)! Y a-t-il une erreur?

  10. #9
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Oui on peut y aller à tâton si on veut !
    Cogito ergo sum.

  11. #10
    Clemgon

    Re : Barycentre

    Donc, si je n'ai pas fait d'erreur avec la calculette (genre mettre en repère orthonormé), OG= 0,28r, à peu près.
    Pouvez-vous vérifier?

  12. #11
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Bon alors je viens d'avancer un peu.
    Dans ma configuration, le 1/4 de cercle est du côté des x négatifs, et le quart d'ellipse du côté des x>0.

    L'aire du quart de cercle est r².pi/4, l'aire du quart d'ellipse est 3pi.r²/4
    Donc l'aire de ma figure est pi.r²
    Donc, tout ça pour dire que l'on cherche à partir de quel x (positif clairement) l'aire à gauche et l'aire à droite vaudront pi.r²/2.
    Si tu suis mon raisonnement, il faut que l'aire partant de l'origine jusqu'à l'abscisse de notre point considéré soit de (pir²/2-pi.r²/4=pi.r²/4) car on connaît déjà l'aire du quart de cercle en cadeau .
    Cette aire partant de l'origine jusqu'à x vaut (en utilisant la forme fonctionnelle de l'équation d'ellipse):


    Si je ne m'abuse.
    Il faut donc réésoudre A=pi.r²/4

    Bon et là...à part les méthodes numériques .
    Cogito ergo sum.

  13. #12
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Bon, un petit coup de Maple me donne quelque chose comme approximativement:
    OG=0.7947962547.. r

    Il y a une expression littérale de ce (.7947962547) mais c'est relativement incompréhensible .
    Cogito ergo sum.

  14. #13
    Clemgon

    Re : Barycentre

    Merci Ledescat!!
    Seulement, j'ai fait une erreur dans le post #1, puisque le demi-grand axe vaut racine carrée de 3, et pas trois! J'étais allé dans word pour trouver le symbole mais au moment de poster ça s'est tranformé en point d'interrogation... je ne sais pas en quoi ça perturbe le calcule (pour l'intégrale, puisque du coup l'aire du quart d'ellipse vaut pi.r²."racine carrée de 3"/4). Je suis le raisonnement jusqu'au moment où tu mets l'intégrale... mais après je retrouve des symboles plus familiers.

  15. #14
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Bon, il doit y avoir des erreurs. Ce qui m'embête c'est le paramètre r qui gêne pour les études numériques.
    Je m'y pencherai plus sérieusement.
    D'ailleurs j'ai oublié les bornes de mon intégrale...
    Cogito ergo sum.

  16. #15
    Clemgon

    Re : Barycentre

    Merci beaucoup!!

  17. #16
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Après avoir trouvé de bons résultats, une lumière m'est apparue . Et ce qu'on a fait est faux!
    L'aire du côté gauche n'est pas nécéssairement égale à- l'aire du côté droit!
    Regarde un triangle isocèle dont le centre de gravité est aux 2/3 de la hauteur...
    Cogito ergo sum.

  18. #17
    Clemgon

    Re : Barycentre

    Euh... non désolé, moi je trouve le même résultat dans ton triangle...
    parce que le centre de gravité c'est un peu la même définition que le mot "milieu", mais appliquée aux dimensions 2 ou 3 (ou peut-être plus encore).
    Imagine que tu doives faire tenir ton triangle, découpé dans du papier (mais on imagine ici que l'épaisseur du papier vaut 0, sinon ce n'est plus un objet de dimension 2) , sur la pointe d'un crayon qui est maintenu en équilibre.
    Tu placeras le centre de gravité du triangle sur la pointe du crayon. Or comment veux-tu que ça tienne s'il y a plus de matière d'un côté que de l'autre? Ce serait plus lourd et ton triangle tomberait.
    Pour moi, la définition du centre de gravité, en dimension 2, pourrait être la suivante:
    Soit S une figure plane fermée. On appelle G son centre de gravité le point qui sépare S en deux parties d'aires égales lorsque S est coupée par une droite passant par G (n'importe laquelle, pourvue qu'elle passe par G).
    Donc pour moi ton premier raisonnement était juste (en revanche je ne peux pas vérifier les intégrales ).
    Et si tu as toujours des problèmes avec le paramètre r, redéfini le paramètre x: je suis sûr que x augmentera proportionnellement avec r, donc pose x= OG quand r=1. Ce qui fait qu'au lieu d'avoir des rapports comme x/3r (cf ton intégrale plus haut), tu auras des rapports du type xr/3r, et ensuite tu peux facilement supprimer les r. Cela dit n'oublie pas que le demi-grand axe vaut racine carrée de 3 fois r .

  19. #18
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Il ne faut pas forcément qu'il y ait plus de matière d'un côté que de l'autre.
    Puisque sur ton triangle il y a de la matière dans toutes les directions. Et d'ailleurs ça sera plus une histoire de bras de levier dans le cas d'une pointe.
    Prends un triangle isocèle de base 8 et de hauteur 6.
    Son centre de gravité est situé aux 2/3 en partant du sommet.
    L'aire de ton triangle est 8*6/2=24
    Quelques considérations géométriques (Thalès notemment) te donneront l'aire du triangle supérieur à G qui vaudra 4*4*(2/3) très différent de 24/2=12 .
    Voilà comment se débarasser de certitudes que j'avais toujours eues .
    Donc je ne te fais pas part de mes calculs savants qui sont malheureusement forts inutiles ici .
    Cogito ergo sum.

  20. #19
    Calvert

    Re : Barycentre

    Salut!

    Bon, j'ai essayé quelques trucs.

    On a donc:

    pour

    et

    pour .

    (Figure ci-dessous).

    De manière générale, le barycentre est à mon avis donnée par:



    pour la coordonnée du barycentre le long de x, la coordonnée en y étant 0 par symétrie.

    Il s'agit donc de calculer:



    et



    L'aire du quart de cercle est:



    et l'aire du morceau d'ellipse:



    et

    On doit donc avoir le barycentre à la coordonnée:



    Modulo les erreurs.
    Images attachées Images attachées  
    Dernière modification par Calvert ; 23/07/2007 à 14h15.

  21. #20
    Clemgon

    Re : Barycentre

    Il est vrai que je trouve les mêmes résultats mais pourtant je reste perplexe...

  22. #21
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Citation Envoyé par Calvert Voir le message

    De manière générale, le barycentre est à mon avis donnée par:


    Je ne connaissais pas cette formule et j'avoue que ça m'a tout l'air de correspondre!
    Chapeau.
    Cependant, dans les calculs effectifs de tes intégrales, je pense que tu as oublié les "x".
    Dernière modification par Ledescat ; 23/07/2007 à 15h12.
    Cogito ergo sum.

  23. #22
    Calvert

    Re : Barycentre

    Je dois dire que je me suis inspiré de la formule pour le centre de masse en physique:




    Ici, la densité est constante et le problème est limité à 2D. La "masse" est donc strictement proportionnelle à la surface.

  24. #23
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Bon , en fait je pense que tu as oublié de les écrire simplement . La deuxième intégrale qui vaut 1 je suis d'accord, parcontre j'ai -1/3 pour la première.
    Cogito ergo sum.

  25. #24
    Calvert

    Re : Barycentre

    Cependant, dans les calculs effectifs de tes intégrales, je pense que tu as oublié les "x"
    Ah oui, c'est juste. Cependant, je ne les ai pas oubliés sur le petit papier que j'ai utilisé pour résoudre le problème... Donc la solution est correcte et pas les notations!

    ON A DONC:



    et



    De plus, le résultat final est donc:


  26. #25
    Ledescat

    Re : Barycentre

    Oui je suis d'accord
    (dans quoi je m'étais embarqué, je m'en veux )
    Cogito ergo sum.

  27. #26
    mécano41

    Re : Barycentre

    Bonjour,

    J'ai fait ainsi : une ellipse étant la projection d'un cercle, le CdG de la surface de la demi-ellipse est située au même endroit que celui du demi-cercle de rayon égal au grand axe, ici :



    Les aires sont :



    On a donc :





    Cordialement
    Images attachées Images attachées  

  28. #27
    mécano41

    Re : Barycentre

    si ce que tu as donné dans ton premier message (r = 1 et demi-grand axe = 3r) est toujours d'actualité, ce qui est donné à la fin donne 0,31r. Au pif, c'est trop près du centre. Je trouve dans ce cas 0,84r

    Cordialement

  29. #28
    mécano41

    Re : Barycentre

    Désolé, je n'avais pas vu que tu avais modifié. Le résultat est donc le même !

  30. #29
    Calvert

    Re : Barycentre

    Nos résultats sont donc identiques:

    tu as:




    EDIT: pour Mécano41: bien vu, ta méthode!

  31. #30
    Clemgon

    Re : Barycentre

    Wouah!! merci à tous! je vais essayer de comprendre ces résultats!
    sinon dans mon post #20 je parlais des résultats pour le triangle, ce serait évidemment mentir que de dire que je parlais du post #19.
    en tout cas, merci à Ledescat, Calvert et meécano41 !!

    Cependant, pour être sûr d'avoir la solution, vous dîtes que OG= 0,31 r, c'est ça?? même en prenant compte du changement effectué en page une?

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