espérance, variance et influence de paramètres

[invite1bc1ddb5]

Bonjour à tous,

Je souhaite étudier l'influence de paramètres (position de l'avion, vent, vitesse de l'avion) sur le point d'impact d'une bombe lancée d'un avion en vol. Plus précisément, je veux pouvoir estimer à 99% la zone dans laquelle tombera la bombe.

Ce que je connais :
- la position de l'avion, mais un radar ne fournit pas ces données en continu
- la vitesse du vent
- la vitesse de l'avion
- l'équation du mouvement avec l'expression des différentes forces en jeu.
Autrement dit, je connais E(X), E(y) et E(Z).
Moi je m'intéresse qu'à la variation de la zone du point d'impact liée à la variation des différents paramètres.

Voilà comment j'ai pensé commencé ce problème :
Je note :
la variable aléatoire représentant la position de l'avion.
la va représentant la vitesse du vent
la va représentant la vitesse de l'avion
f(X,Y,Z) donne l'équation de la trajectoire

Je suppose que X, Y et Z suivent des lois normales.

Ce qui m'intéresse, c'est la valeur de : Var(f(X,Y,Z)).
Var(f(X,Y,Z)) = E [(f(X,Y,Z))²] - [E (f(X,Y,Z))]²
Existe-t-il des conditions sous lesquelles je puisse écrire :
Var(f(X,Y,Z)) = E [(f(X,Y,Z))²] - [f (E(X,Y,Z)) ]²] ?

Parce que j'ai fait le calcul pour essayer de résoudre E[f(X,Y,Z)] et c'est assez long...

Que pensez-vous de mon idée?
Sauriez-vous où je peux trouver des exemples de résolution de tels problèmes?
J'espère avoir été assez claire ...

Merci pour votre aide
-----

[invite35452583]

Existe-t-il des conditions sous lesquelles je puisse écrire :
Var(f(X,Y,Z)) = E [(f(X,Y,Z))²] - [f (E(X,Y,Z)) ]²] ?

A part f linéaire je ne pense pas qu'il y ait d'autres conditions suffisantes.
Contre-exemple simple : X va prenant 3 valeurs 0,1,2 avec la même probabilité pour chacune E(X)=1, f la fonction carrée f(E(X))=1 mais E(f(X))=5/2.

Je n'ai pas de début de réponse aux autres questions.

[invite1bc1ddb5]

Ok, merci
Quelqu'un aurait-il d'autres suggestions ?

[invite1bc1ddb5]

Bonjour,

j'ai une question plus facile . Quand on ne sait pas quelle loi suit une variable, on a toujours le droit de supposer qu'elle suit une loi normale ?
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

salut,
à mon humble avis, ton modèle est très incomplet. Autant pour la position et la vitesse de l'avion, tu n'as besoin que des valeurs au moment où la bombe se détache de l'avion, autant pour le vent, tu dois le prendre en compte tout au long du vol de la bombe. Tu as donc affaire à un processus stochastique. Par ailleurs, le vent n'est pas du tout constant selon l'altitude, il y a souvent un cisaillement important entre hautes et basses couches de l'atmosphère.

pour ta question de probas, a priori on ne peut pas supposer qu'une v.a. de loi inconnue est nécessairement normale, mais si on ne s'intéresse qu'aux premiers moments, ce n'est pas forcément une approximation catastrophique.

[invite1bc1ddb5]

En fait, je vais faire de mon intégrale, une somme d'intégrales chacune étant sur un intervalle de centième de seconde. Dans ce cas, je dois pouvoir supposer que ma v.a. suit une loi normale non? Et sur ces intervalles, je vais justement pouvoir supposer mon altitude constante. Cela est-il plus correct ?

[invite1bc1ddb5]

Je me permet de faire remonter mon sujet, puisque je n'ai toujours pas trouvé la réponse à cette question,et j'en ai toujours besoin
Est-ce que je peux supposer que sur un intervalle d'une vingtaine de m environ (sur un altitude variant entre 4000 et 10000m) ma v.a. suit une loi normale?

Merci d'avance

[invite986312212]

pourquoi est-ce si important que les v.a. soient normalement distribuées?

[invite1bc1ddb5]

pourquoi est-ce si important que les v.a. soient normalement distribuées?

j'ai besoin de l'expression de leur densité (pour le calcul d'une espérance), que ce soit la loi normale ou non, mais je ne vois pas quelle autre loi elles pourraient suivre . C'est d'ailleurs pour ça que j'ai précédemment demandé si on peut toujours supposer que des variables aléatoires suivent la loi normale. Apparemment non, mais sur un espace plus restreint (de l'ordre de 20 m sur un ordre de grandeur compris entre 4000 et 10000)?
J'espère être claire maintenant ...

[invite0c823a98]

Bonjour,

Non tu ne peux pas supposer que tes variables suivent une loi normale juste parce que tu ne sais pas quelle loi utiliser. Savoir si oui ou non tes données suivent la loi normale te permettra de choisir le test approprié : soit un test paramétrique soit un non paramétrique. Faire le bon choix garantira la précision de tes résultats.

[invite986312212]

j'ai besoin de l'expression de leur densité (pour le calcul d'une espérance), que ce soit la loi normale ou non, mais je ne vois pas quelle autre loi elles pourraient suivre .

je ne comprends pas bien ton objectif, mais si tu cherches à calculer les premiers moments de f(X,Y,Z) où X,Y,Z sont des variables gaussiennes indépendantes et f une fonction plus ou moins compliquée, ça peut vite être inextricable. Déjà la densité gaussienne n'a pas de primitive (exprimable avec les fonctions élémentaires). Si in fine tu dois résoudre ton problème numériquement, il n'y a pas d'avantage particulier à prendre des v.a. gaussiennes.

d'un point de vue "philosophique", supposer une v.a. gaussienne en l'absence d'autre information n'est pas totalement absurde, si le but est de calculer des moments. Un argument heuristique est par exemple celui-ci: parmi les lois de moyenne et variance fixées, la loi normale est celle qui a la plus grande entropie (au sens de Kullback si mes souvenirs sont bons, à vérifier dans un bon cours de probas). Cela dit, c'est une hypothèse qui pourra t'être reprochée.

[invite1bc1ddb5]

Bonjour,
Je vais essayer de redéfinir clairement mon objectif.
J'ai une équation de mouvement donnée par une méthode de prédiction/correction, qui dépend de divers paramètres, que j'ai cités plus haut.
Cette méthode de prédiction/correction me permet de trouver le point d'impact théorique de la bombe. Je veux estimer, en fonction de la précision des appareils qui fournissent les mesures dont je dispose (radar de trajectographie...), de combien la bombe peut s'écarter par rapport à ce point. Je suppose que cela représente la variance.
Je suppose que les valeurs de vitesse (vent et bombe) et position de l'avion fournit par les appareils représentent les espérances des variables aléatoires ; de plus, la précision de ces appareils représente leur variance.

Je note f(X,Y,U,V) ma fonction qui régit l'équation de mouvement. Je ne réapplique pas la méthode de prédilection/correction, je prends cette expression : où k dépend de l'altitude, de la vitesse du vent et de celle de la bombe.

Je ne connais rien sur les lois des variables aléatoires, mais je connais leur espérance et variance.

Je souhaite faire ce calcul :




donc les intervalles d'intégration ne sont à priori pas très grands puisque les appareils sont assez précis.
A prioi, je peux supposer que les v.a. sont indépendantes, d'où cette expression
représente la densité de f.

comme k dépend (de 3) variables parmi les 4, je ne peux pas séparer les intégrales pour simplifier mon problème, à mon grand désarroi

Voyez-vous une autre façon de faire pour calculer cette espérance ?

[invite986312212]

à mon avis il ne suffit pas d'intégrer de E-V à E+V (ce serait plutôt la racine carrée de V d'ailleurs) pour prendre en compte la variabilité.

Si tes variances sont petites devant les espérances, le plus simple est de linéariser (développement au premier ordre).

autrement, un pote à moi a travaillé sur le problème du guidage de la fusée Ariane. Les écarts au plan de vol étaient modélisés par un processus de Markov. C'est ce que je connais de plus proche de ton problème. Je ne te donne pas ses coordonnées parce que c'est un militant d'Amnesty et j'imagine qu'il ne serait pas très chaud pour travailler sur le guidage des bombes mais en cherchant bien dans la littérature tu vas trouver ses papiers.

[invite1bc1ddb5]

à mon avis il ne suffit pas d'intégrer de E-V à E+V (ce serait plutôt la racine carrée de V d'ailleurs) pour prendre en compte la variabilité.

C'est bien vrai

Si tes variances sont petites devant les espérances, le plus simple est de linéariser (développement au premier ordre).

En fait, mes variances et espérances sont connues explicitement (sous forme numérique). Qu'est-ce que je linéarise? ma fonction?

autrement, un pote à moi a travaillé sur le problème du guidage de la fusée Ariane. Les écarts au plan de vol étaient modélisés par un processus de Markov. C'est ce que je connais de plus proche de ton problème. Je ne te donne pas ses coordonnées parce que c'est un militant d'Amnesty et j'imagine qu'il ne serait pas très chaud pour travailler sur le guidage des bombes mais en cherchant bien dans la littérature tu vas trouver ses papiers

Ce sont des bombes qui seront tirées juste sur des champs de tir...mais bon, on sait jamais. Pour moi, c'est juste une partie de mon sujet de stage
Et je n'étudierai les processus de Markov que l'an prochain. Est-ce que ça prendrait longtemps de comprendre la partie qui m'intéresse?

Merci en tous cas pour les réponses

[invite986312212]

peut-être que ça n'est pas la peine de se soucier de dépendance temporelle finalement. Ce serait nécessaire si par exemple la vitesse de la bombe était connue par la différence entre deux positions successives mesurées par le radar. Les erreurs seraient corrélées.