métriques equivalentes !

[invitecbade190]

Bonsoir:
Est ce que vous pouvez m'expliquer en detail ce que signifie que deux métriques et sont métriquement équivalentes..?
D'après le cours :
et sont métriquement équivalentes si et seulement si :
. :
.
Mais je ne comprends rien sur le sens et l'origine de cette expression ni sur la définition toute entière... Est ce que vous pouvez me donner plus de details sur l'origine de cette expression ..? Est ce qu'elle signifie quelques choses sur le plan topologique...?
et merçi infiniment !!
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[invite35452583]

Ta définition souffre de manque de symétrie dans son écriture (c'est souvent le cas), il suffit de remarquer que pour constater que cette relation est symétrique, on vérifie aussi facilement que ctte relation est réflexive et transitive donc c'est une relation d'équivalence sur les distances (le nom se trouve ainsi justifié).

D'un point de vue topologique : les topologies définies par ces deux distances sont alors égales. En effet :
il suffit de montrer que les fermés de l'un sont des fermés de l'autre. De plus comme les fermés se caractérisent par les suites et leurs limites (un sous-espace F est fermé ssi toute limite de suite d'éléments de F est dans F), il suffit de montrer que la convergence des suites est équivalente pour d etd'.
Soit xn une suite convergeant vers x pour la distance d, on d(xn,x) qui tend vers 0, or donc d'(xn,x) tebnd vers 0 et xn converge vers x pour d'. Par symétri, on de même si xn tend vers x pour d' alors xn tend vers x pour d.

Remarque deux distance peuvent être topologiquement équivalentes (ils définissent la même toplogie) sans être équivalentes. (cf livret des contre-exemples, qui donne un exemple de distance sur R qui donne la même topologie mais pour laquelle R n'est pas complet+cf ci-dessous)
On a le résultat plus fort pour deux distances équivalentes : toute suite de Cauchy pour l'une est suite suite de Cauchy pour l'autre. En particulier, l'espace est complet pour d si et seulement si il l'est pour d'. Si l'espace n'est pas complet, alors on peut le compléter pour d (on quotiente l'ensemble des suites de Cauchy par les suites convergent vers 0à l'instar de la construction de R par les suites de cauchy). On peut aussi le compléter pour d'. Ces deux complétés sont égaux, les distances prolongées sont équivalentes.