normes équivalentes

[christophe_de_Berlin]

bonjour,

quelqu´un pourrait-il m´expliquer ce que cela veut dire quand on dit que deux normes sont équivalentes.

merci d´avance

christophe
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[invite636fa06b]

Bonjour,
Question facile :
Deux normes N et N' sont équivalentes s'il existe deux nombres m et M tels que pour tout x on ait
m.N(x) < N'(x) < M.N(x) (ce sont des inégalités au sens large)

[invite4ef352d8]

Salut !

et cela signifie qu'elle definisse la meme topologie.

[invite914a6080]

Bonsoir
J'en suis pas sur mais je pense que le but premier de cette définition est de pouvoir dire la chose suivante :
Si deux normes sont équivalentes alors toute suite convergente vis à vis d'une norme, converge vis à vis de l'autre aussi.
(En passant: A ton l'équivalence?)

Il en découle je suppose les meme propriété topologique pour un espace vectoriel E, normé (E,norme1) que (E,norme2)...
J'ai pas de contre-exemples qui me viennent à l'esprit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

Si deux normes sont équivalentes alors toute suite convergente vis à vis d'une norme, converge vis à vis de l'autre aussi.

C'est une paraphrase de :

cela signifie qu'elle definisse la meme topologie.

Ceci étant, toutes les normes en dimension finie sont équivalentes. Ce n'est plus le cas pour les espaces de fonctions, par exemple.

(En passant: A ton l'équivalence?)

Quand les espaces sont séparés, il me semble que oui. S'il y a un contre-exemple à chercher, ce serait plutôt au pays des non-séparés où la caractérisation séquentielle ne tient plus.

Cordialement.

[GuYem]

Martini, es-tu sûr que si deux topologies ont les mêmes suites convergentes, alors ce sont les mêmes ? Le cas de l^1 semble pathologique non ?

[christophe_de_Berlin]

bon ben merci, je vais fire avec

[edpiste]

Quand les espaces sont séparés, il me semble que oui. S'il y a un contre-exemple à chercher, ce serait plutôt au pays des non-séparés où la caractérisation séquentielle ne tient plus.

Il me semble que dans tout espace métrique la caractérisation séquentielle est suffisante, en particulier dans un evn. Non ?

[martini_bird]

Salut,

je reviens sur ce que j'ai dit hier et j'essaie de reformuler le problème, en espérant ne pas être à côté de la plaque (rude journée...)

Bon d'abord, on est d'accord sur le fait que deux topologies identiques sur un même espace définissent les mêmes suites convergentes.

Il me semble que dans tout espace métrique la caractérisation séquentielle est suffisante, en particulier dans un evn. Non ?

Je n'ai pas dit le contraire : si deux espaces métriques et admettent les mêmes suites convergentes, alors les topologies définies par d et d' sont les mêmes. Cependant, je peux me tromper...

Dans le cas général, on doit pouvoir trouver deux espaces topologiques et avec et distinctes qui admettent les même suites convergentes, non ?

Le cas de l^1 semble pathologique non ?

C'est-à-dire ?

Cordialement.

[invite914a6080]

Bonjour.
Merci pour ta précision, désolé pour la paraphrase, j'en étais pas pleinement conscient.
Par contre : Que signifie espace séparé ? Perte de connexité?

++

[GuYem]

C'est-à-dire ?

Cordialement.

Exactement ce que tu disais une ligne plus haut : dans l^1, les topologies fortes et faibles ne coincident pas, pourtant, les suites convergentes sont les mêmes.

[martini_bird]

Exactement ce que tu disais une ligne plus haut : dans l^1, les topologies fortes et faibles ne coincident pas, pourtant, les suites convergentes sont les mêmes.

Ah d'accord, je n'avais pas deviné les topologies auxquelles tu faisais référence...

Par contre : Que signifie espace séparé ? Perte de connexité?

Non, la séparation exprime que pour deux points distincts, on peut trouver deux ouverts disjoints contenant chacun d'eux. Il existe des topologies non séparées, dont la plus célèbre est certainement la topologie de Zariski.

Cordialement.

[invite4ef352d8]

Exactement ce que tu disais une ligne plus haut : dans l^1, les topologies fortes et faibles ne coincident pas, pourtant, les suites convergentes sont les mêmes.

en quoi cela consiste ??

dans un espace séparé on peut definir les notion d'ouvert et de fermé a partir de la convergence des suites non ?

donc si les suite convergente sont les meme, comment peut-on avoir des topologie differentes ? (je vois pas on sa coince dans la reconstruction de la topologie a partir des suite convergente... )