Fonction de Green

[Quinto]

Allo,
je dois calculer la fonction de Green d'une demi sphère, disons la demi sphère supérieure, en fonction de la fonction de Green de la sphère.

Je dirais à première vu que ce serait
G+(x,y)=G(x,y)-G(x,y*)

En notant G+ la fonction de Green avec pôle en y de la demi sphère supérieure.
En notant G la fonction de Green avec pôle en y de la sphère.
En notant y* le point si y=.


Est-ce que quelqu'un pourrais me mettre un peu plus sur la voie svp.
On dirait que je n'ai aucune idée de la façon dont je dois procéder.

Merci d'avance.
-----

[edpiste]

Si c'est la fonction de Green du Laplacien avec conditions de Dirichlet homogène, alors oui ta formule est correcte. (il suffit de revenir à la définition de la fonction de Green et de faire un petit chgt de variable pour s'en convaincre)

[Quinto]

Si c'est la fonction de Green du Laplacien avec conditions de Dirichlet homogène, alors oui ta formule est correcte. (il suffit de revenir à la définition de la fonction de Green et de faire un petit chgt de variable pour s'en convaincre)

Salut,
tout d'abord merci infiniement pour ta réponse.
En fait je me doutais bien qu'elle avait cette tête la.
Ensuite, ca dépend de la définition que tu te donnes de la fonction de Green. Moi j'ai pour définition de la fonction de Green que c'est la fonction définie par


où si n>2
si n=2
et est le plus petit minorant harmonique de .

Avec cette définition je pense que c'est non trivial, mais je vais essayer en passant par le fait que c'est la solution fondamentale de l'opérateur Laplacien.

D'ailleurs pour répondre à ta remarque, oui c'est la fonction de Green de l'opérateur Laplacien avec conditions de Dirichlet nulles.

Merci pour ta réponse
A bientôt,
Quinto.

ps: Est-ce que ce résutat se généralise à n'importe quel domaine symétrique par rapport à un hyperplan ? Je pense que oui et qu'il suffit de faire le même changement de variable, mais tant que je n'ai pas fait la preuve, je ne verrais pas si ca marche.

[edpiste]

ps: Est-ce que ce résutat se généralise à n'importe quel domaine symétrique par rapport à un hyperplan ? Je pense que oui et qu'il suffit de faire le même changement de variable, mais tant que je n'ai pas fait la preuve, je ne verrais pas si ca marche.

oui.
En revanche, ta définition de fonction de Green est un peu tordue et à mon avis incorrecte : il me semble en effet que n'importe quelle constante négative est un minorant harmonique de la solution fondamentale (en dim 3 pour faire simple). Ca serait pas plutôt le "plus grand minorant harmonique" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Ca serait pas plutôt le "plus grand minorant harmonique" ?

Oui bien sur, c'est une bourde, à force de jongler entre les fonctions sous et sur harmoniques, on fini par s'y perdre

Merci.
a+

[invite7d41e980]

Allo,
je dois calculer la fonction de Green d'une demi sphère, disons la demi sphère supérieure, en fonction de la fonction de Green de la sphère.

Je dirais à première vu que ce serait
G+(x,y)=G(x,y)-G(x,y*)

En notant G+ la fonction de Green avec pôle en y de la demi sphère supérieure.
En notant G la fonction de Green avec pôle en y de la sphère.
En notant y* le point si y=.


Est-ce que quelqu'un pourrais me mettre un peu plus sur la voie svp.
On dirait que je n'ai aucune idée de la façon dont je dois procéder.

Merci d'avance.

Bonjour
Une définition de la fonction de Green est effectivement : Uy(x)-hy(x) avec hy la plus grande minorante de Uy .(voir David Harmitage :classical potential theory)
Pour la fonction de Green du demi cercle la formule G(x,y)-G(x,y*) est juste aussi et le calcul donne :
G+(x,y)= -Log[1+ (1-│x│2)*( 1-│y│2)*(│x-y│)-2] +Log[1+ (1-│x│2)*( 1-│y│2)*(│x-y*│)-2]

Mais g trouvé dans un article que
G+(x,y) = Log[1+ 4*x2*y2* (1-│x│2)*( 1-│y│2)*(│x-y│)-2*│x-y*│-2]
x₂est la deuxième composante de x
Et franchement la dernière correspond bel et bien à la définition