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[MPSI] Groupe fini



  1. #1
    Seth.

    [MPSI] Groupe fini


    ------

    Bonsoir,

    J'aurais besoin de vos conseils sur une question de mon dm.

    Voilà l'énnoncé:
    Soit (G,.) un groupe fini d'ordre n, (H,.) sous groupe de G, alors l'ordre de H divise n (Théorème de Lagrange).

    Sur G on a défini la relation
    J'ai montré que cette relation était une relation d'équivalence.

    J'ai aussi montré que

    Ensuite on a défini f:


    J'ai montré que c'était un isomorphisme.

    Mais après on me demande:
    1: alors ord(a) divise n?
    2: ? e neutre de G et H

    Avec le résultat de la 2 j'arrive à montrer la 1, mais sinon non je ne vois pas comment faire. Il faut utiliser la division euclidienne par ord(a) je pense...

    Avec la 1 la 2 est facile après.

    Merci de votre aide.

    -----

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  4. #2
    IceDL

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Bonjour,

    Je te conseille de regarder l'ensemble suivant :



    Il te donne plein d'informations pour démontrer ta question.

    Bonne soirée,
    There's beauty in the breakdown

  5. #3
    Seth.

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Je crois avoir trouvé comment faire:
    On divise n par ord(a):

    Or ord(a) est le plus petit relatif tel que , donc r=0





    Puis ensuite,

    Est-ce juste ?

  6. #4
    kaiswalayla

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Le raisonnement

    est faux
    Ainsi du théorème: il perd sens et logique quand un mot fait défaut lui ôtant sa valeur

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    homotopie

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Citation Envoyé par Seth. Voir le message
    Je crois avoir trouvé comment faire:
    On divise n par ord(a):

    Or ord(a) est le plus petit relatif tel que , donc r=0
    J'ai loupé un épisode ou an=e débarque sans preuve ?
    Par contre je ne suis pas d'accord avec kaiswalayla dans le raisonnement ci-dessus si r=0 l'assertion n=ord(a)q est juste.

    Indice pour montrer que ord(a) divise n : quel est l'ordre du sous-groupe engendré par a ? conclure avec le théorème de Lagrange. Au cas où celui-ci se montre en montrant que comme toutes les classes d'équivalence (pour la relation évoquée ci-avant) sont de cardinal égal à celui de H alors ce dernier divise G.

    Autre remarque par rapport au 1er post f : H->H*x ne peut être un isomorphisme puisque l'ensemble d'arivée n'est pas un groupe (une bijection mais c'est tout par contre c'est important que c'en soit une).

  9. #6
    kaiswalayla

    Re : [MPSI] Groupe fini

    A quel moment as tu démontré le théorème de Lagrange, et comment ?

    Comment définis tu l' d'un élément de ?

    Tu dois ensuite utiliser l'indication de IceDL.
    Ainsi du théorème: il perd sens et logique quand un mot fait défaut lui ôtant sa valeur

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  11. #7
    kaiswalayla

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Citation Envoyé par Seth. Voir le message
    Je crois avoir trouvé comment faire:
    On divise n par ord(a):

    Or ord(a) est le plus petit relatif tel que , donc r=0





    Puis ensuite,

    Est-ce juste ?
    Pardon, tu as déjà donné la définition de , mais ta conclusion qui suit: est fausse:
    pourquoi le fait que impliquerait que ? sauf à supposer que , ce qu'on demande de démontrer à la question 2)
    Tu dois absolument utiliser le th de Lagrange je crois...

    Pour répondre à homotopie, j'avais dit que l'implication
    était fausse car l'implication:


    est fausse en général;
    sauf à supposer (comme tu fais) que c-à-d , or c'est ça Seth essayait de démontrer si j'ai tout compris.
    Ainsi du théorème: il perd sens et logique quand un mot fait défaut lui ôtant sa valeur

  12. #8
    homotopie

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    ...sauf à supposer que ,...

    Pour répondre à homotopie, j'avais dit que l'implication
    était fausse car l'implication:


    est fausse en général;
    sauf à supposer (comme tu fais) que c-à-d , or c'est ça Seth essayait de démontrer si j'ai tout compris.
    Oui la technique de montrer que le reste dans la division euclidienne est nulle peut permettre de montrer des résultats du type n=q.ord(a), contournant ainsi la difficulté que tu évoques avec a^k=a^l. Mais encore faut-il montrer "proprement" que ce reste est nul et non pas supposer un résultat comme il a été fait ici comme tu l'as remarqué toi aussi (a^n=e est plus ou moins utilisé pour montrer qe a^n=e ).

  13. #9
    GaryO

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Sinon tu peux aussi dire que les classes d'équivalence forment une partition de G, or elles ont toutes le même cardinal qui est celui de H donc la cardinal de G est égal à (nbre de classes d'éq)*(cardinal de H), donc le cardinal de H (ie l'ordre de H) divise l'ordre de G. En particulier si a est dans G, en prenant H=sous-groupe engendré par a, tu as que l'ordre de H divise l'ordre de G, or l'ordre de H, c'est l'ordre de a, donc tu as le résultat de la question 1. La deuxième s'en déuit facilement.

  14. #10
    homotopie

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Citation Envoyé par GaryO Voir le message
    Sinon tu peux aussi dire que les classes d'équivalence forment une partition de G, or elles ont toutes le même cardinal qui est celui de H donc la cardinal de G est égal à (nbre de classes d'éq)*(cardinal de H), donc le cardinal de H (ie l'ordre de H) divise l'ordre de G. En particulier si a est dans G, en prenant H=sous-groupe engendré par a, tu as que l'ordre de H divise l'ordre de G, or l'ordre de H, c'est l'ordre de a, donc tu as le résultat de la question 1. La deuxième s'en déuit facilement.
    Ah oui c'est très différent de :
    Citation Envoyé par homotopie
    Indice pour montrer que ord(a) divise n : quel est l'ordre du sous-groupe engendré par a ? conclure avec le théorème de Lagrange. Au cas où celui-ci se montre en montrant que comme toutes les classes d'équivalence (pour la relation évoquée ci-avant) sont de cardinal égal à celui de H alors ce dernier divise G.

  15. #11
    GaryO

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Ah oui c'est très différent de :

    Pardon pardon, j'avais mal parcouru le fil, j'avais pas vu que ça avait été dit.

  16. #12
    Seth.

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Merci!

    Je pense que j'ai compris :
    est une partition de G
    Du fait que f est une bijection.
    C'est le principe des bergers je crois...





    Autre remarque par rapport au 1er post f : H->H*x ne peut être un isomorphisme puisque l'ensemble d'arivée n'est pas un groupe (une bijection mais c'est tout par contre c'est important que c'en soit une).
    Pourquoi?

    C'est bien un ensemble ça ?

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  18. #13
    kaiswalayla

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Citation Envoyé par Seth. Voir le message

    Pourquoi?

    C'est bien un ensemble ça ?
    - A la quatrième ligne de ton message, tu as démontré le théorème de Lagrange, dit le principe du berger comme tu dis.
    - Je crois aussi que tu as compris.
    - Ce sont toutes les classes qui forment une partition de l'ensemble .

    - Si j'ai bien compris ta question, oui c'est un ensemble ! c'est une partie de . Et pour la notation

    Pour tout désigne par définition l'ensemble de tous les éléments de pouvant s'écrire sous la forme est un élément quelconque de .

    On montre ensuite que cet ensemble n'est autre que la classe de





    donc:



    d'où

  19. #14
    homotopie

    Re : [MPSI] Groupe fini

    Citation Envoyé par Seth. Voir le message
    Pourquoi?

    C'est bien un ensemble ça ?
    Oui c'est un ensemble et il peut donc y avoir une bijection entre H et H*x. Mais un isomorphisme n'est pas une simple bijection mais une bijection qui respecte les structures algébriques sur ces ensembles. Mais comment f pourrait-elle respecter les structures algébriques entre H et H*x alors que ce dernier n'en a aucune de naturel (quand on multiplie deux éléments de H*x on sort en général de H*x) ?
    Pour le reste il me paraît clair aussi que tu as compris.

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